2008-广东卷理-11 填-圆

本题导读

本题考查解析几何中直线与圆的基础性质。通过确定圆心坐标以及两条直线垂直时斜率的乘积关系，快速写出目标直线方程。

📌【题干】

Question

（2008年广东卷(理)） 经过圆 $x^2+2x+y^2=0$ 的圆心 $C$, 且与直线 $x+y=0$ 垂直的直线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对圆的方程进行配方，求出圆心 $C$ 的坐标。
2. 根据已知直线的斜率，利用垂直直线的斜率乘积为 $-1$ 确定所求直线的斜率。
3. 利用点斜式求出直线方程并化为标准形式。

✅【答案】

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$y=x+1$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程 $x^2+2x+y^2=0$ 配方得： $(x+1{)}^2+y^2=1$ 由此可得圆心坐标为 $C(-1,0)$。

已知直线为 $x+y=0$，其斜率为 $k_1=-1$。 因为所求直线与该直线垂直，所以所求直线的斜率 $k_2=-\frac{1}{k_1}=1$。

由点斜式可得所求直线方程为： $y-0=1\cdot (x-(-1))⟹y=x+1$ 化为一般式为 $x-y+1=0$。

正确答案为：$x-y+1=0$（或 $y=x+1$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程转化为标准方程；两条直线垂直的充要条件 $k_1\cdot k_2=-1$。
2. 核心方法：点斜式一步建方程，再转化为一般式。
3. 避坑指南：配方求圆心时，注意坐标的正负号，容易把圆心 $C(-1,0)$ 误记为 $(1,0)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 解析几何基础题，融合了直线位置关系与圆的基础几何性质，属于课本典型例题的综合。
2. 结论推广: 与直线 $Ax+By+C=0$ 垂直的直线系方程可以设定为 $Bx-Ay+m=0$，将点坐标直接代入即可快速解得 $m$。

🔗【关联脉络】

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$y=x+1$

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$y=x+1$