2008-江西卷理-09 单-不等式

本题导读

本题考查多元代数式的大小的比较与最值判定。核心意图是利用排序不等式（顺序和大于反序和）特征或作差代数变形，判定给定边界条件下的最大代数式。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)）若 $0 < a_{1} < a_{2}$ ， $0 < b_{1} < b_{2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = b_{1} + b_{2} = 1$ ，则下列代数式中值最大的是 ()

A. $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ 　　B. $a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}$ 　　C. $a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}$ 　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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排序不等式判定：由 $a_{1} < a_{2}$ 且 $b_{1} < b_{2}$ 为两组同向有序实数，根据排序原理，两序列对应位置相乘的“顺序和”必然大于“反序和”，故 (A) > (C)。

代数变形作差比较：将 $a_{2} = 1 - a_{1}, b_{2} = 1 - b_{1}$ 代入各选项，通过恒等变形作差比较大小，同时与 $\frac{1}{2}$ 建立不等关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解法一：排序原理判定法 因为两组正数序列满足同向单调递增： $a_{1} < a_{2}, b_{1} < b_{2}$ 根据排序不等式可知，顺序和（大乘大，小乘小）大于反序和（大乘小，小乘大）： $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} > a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}$ 由此判定，选项 (A) 严格大于选项 (C)。

解法二：作差代数恒等变形法 由已知条件，令 $a_{2} = 1 - a_{1}$ ， $b_{2} = 1 - b_{1}$ 。因为 $0 < a_{1} < a_{2}$ ，且 $a_{1} + a_{2} = 1$ ，所以 $0 < a_{1} < \frac{1}{2}$ 。同理，可得 $0 < b_{1} < \frac{1}{2}$ 。

比较 (A) 与 (B)：将 (A) 减去 (B) 得： $(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}) - (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) = a_{1} b_{1} + (1 - a_{1}) (1 - b_{1}) - a_{1} (1 - a_{1}) - b_{1} (1 - b_{1})$ $= 2 a_{1} b_{1} - a_{1} - b_{1} + 1 - (a_{1} - a_{1}^{2} + b_{1} - b_{1}^{2})$ $= a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + 2 a_{1} b_{1} - 2 a_{1} - 2 b_{1} + 1$ $= (a_{1} + b_{1})^{2} - 2 (a_{1} + b_{1}) + 1 = (a_{1} + b_{1} - 1)^{2}$ 因为 $a_{1} < \frac{1}{2}, b_{1} < \frac{1}{2} ⟹ a_{1} + b_{1} < 1$ ，所以 $a_{1} + b_{1} - 1 \neq = 0$ 。由于非零实数的平方恒大于 0，即 $(a_{1} + b_{1} - 1)^{2} > 0$ 。所以 $(A) > (B)$ 。

比较 (A) 与 (D)：因为 $0 < a_{1} < \frac{1}{2} ⟹ 1 - 2 a_{1} > 0$ ； $0 < b_{1} < \frac{1}{2} ⟹ 1 - 2 b_{1} > 0$ 。两正数相乘仍为正数： $(1 - 2 a_{1}) (1 - 2 b_{1}) > 0 ⟹ 1 - 2 a_{1} - 2 b_{1} + 4 a_{1} b_{1} > 0$ 两边同时除以 2 得： $\frac{1}{2} - a_{1} - b_{1} + 2 a_{1} b_{1} > 0 ⟹ 2 a_{1} b_{1} - a_{1} - b_{1} + 1 > \frac{1}{2}$ 而左边代数式展开恰好等于 (A)： $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = a_{1} b_{1} + (1 - a_{1}) (1 - b_{1}) = 2 a_{1} b_{1} - a_{1} - b_{1} + 1 > \frac{1}{2}$ 所以 $(A) > (D)$ 。

综上所述，选项 (A) 的数值在所有代数式中最大。

正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排序不等式的顺序和、乱序和、反序和定理；多变量受限条件下的代数作差因式分解。

核心方法：排序原理法与作差法。

避坑指南：选择题中如果时间紧张，最快的方法是特殊值法秒杀。由于自变量范围限制，可直接取 $a_{1} = 0.4, a_{2} = 0.6$ ， $b_{1} = 0.3, b_{2} = 0.7$ ，代入可得 (A) = 0.54, (B) = 0.45, (C) = 0.46, (D) = 0.50，一目了然。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题是考查经典不等式理论中排序原理（Rearrangement Inequality）最标准的初等构型小题。

结论推广: 对于两组同向有序的实数序列 $x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}$ 与 $y_{1} \leq y_{2} \leq \dots \leq y_{n}$ ，其对应的内积和中，顺序和 $\sum x_{i} y_{i}$ 永远最大，反序和 $\sum x_{i} y_{n - i + 1}$ 永远最小。

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