2008-湖北卷文-16 解-三角化一区间最值

本题导读

$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{3}{2}$，周期 $2\pi$；$x\in \left[\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$ 时 $t\in \left[\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$，最大值 $-2$、最小值 $-\frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}-2$.

(1)将函数 $f(x)$ 化简成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$（$A>0$，$\omega >0$，$\phi \in [0,2\pi )$）的形式，并指出 $f(x)$ 的周期；

(2)求函数 $f(x)$ 在 $\left[\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$ 上的最大值和最小值.

🔍【思路分析】

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积化和差与降幂公式把 $f(x)$ 化为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{3}{2}$；换元后区间 $\left[\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$ 跨过 $\frac{3\pi }{2}$，最小值在谷底、最大值在左端点.

✅【答案】

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(1)$f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{3}{2}$，周期 $T=2\pi$；(2)最大值 $-2$，最小值 $-\frac{3+\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin x$，${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$. $f(x)=\frac{1}{2}\sin x+\frac{1+\cos x}{2}-2=\frac{1}{2}(\sin x+\cos x)-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\frac{3}{2}$. 故 $A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\omega =1$，$\phi =\frac{\pi }{4}$，$B=-\frac{3}{2}$，周期 $T=2\pi$. (2)令 $t=x+\frac{\pi }{4}$，当 $x\in \left[\pi ,\frac{17\pi }{12}\right]$ 时，$t\in \left[\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$. 区间跨过 $t=\frac{3\pi }{2}$：$\sin t$ 在 $\left[\frac{5\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right]$ 上递减、在 $\left[\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{3}\right]$ 上递增，最小值 $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$；两端点 $\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sin \frac{5\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，最大值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 于是 $f_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)-\frac{3}{2}=-2$，$f_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{2}\times (-1)-\frac{3}{2}=-\frac{3+\sqrt{2}}{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角降幂与辅助角公式

核心方法：积化和差、降幂后合并成 $A\sin (\omega x+\phi )+B$，换元定区间最值

避坑指南：区间 $\left[\frac{5\pi }{4},\frac{5\pi }{3}\right]$ 跨过 $\frac{3\pi }{2}$，最小值在谷底 $-1$ 处，最大值在左端点 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$；两个端点值都要算再比大小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材三角恒等变换的综合应用（化简 + 求最值二段式）

结论推广：化简目标形 $A\sin (\omega x+\phi )+B$；求区间最值用整体换元 $t=\omega x+\phi$

方法推广：换元后先写新区间再定最值；区间跨过 $\frac{3\pi }{2}$ 或 $\frac{\pi }{2}$ 时最值在谷（峰）底而非端点

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-湖北卷文-16 解-三角恒等变换与最值
• 2012-湖北卷文-18 解-三角函数对称轴与值域
• 2014-湖北卷文-18 解-三角最值
• 2007-湖北卷理-16 解-三角函数在闭区间上最值