2008-福建卷文-13 填-二项式特定项系数

本题导读

通项 ${\mathrm{C}}_9^r{x}^{9-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r$，令 $9-2r=3$ 得 $r=3$，系数即 ${\mathrm{C}}_9^3$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^9$ 展开式中 $x^3$ 的系数是　　　.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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$T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r{x}^{9-2r}$，令 $9-2r=3$，$r=3$，系数 $={\mathrm{C}}_9^3=84$.

✅【答案】

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84

✍【详细解析】

Abstract

二项展开式的通项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_9^r{x}^{9-r}{\left(\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_9^r{x}^{9-2r}$. 令 $9-2r=3$，得 $r=3$. 故 $x^3$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理特定项系数

核心方法：写通项令幂次定 $r$，组合数即系数

避坑指南：先确认问的是”$x^3$ 的系数”还是”二项式系数”；本题 $9-2r=3$ 得 $r=3$，若次数凑不成整数要回头检查幂次是否看错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式特定项系数（2009 四川文 14、2010 四川文 13）

结论推广：推广到三项式（分组后再套二项式）或求最大系数项

方法推广：通项中 $x$ 的指数是线性组合，令其等于目标次数解 $r$，解不出整数先查题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2010-四川卷文-13 填-二项式常数项
• 2010-重庆卷文-01 单-二项式定理特定项
• 2012-重庆卷文-04 单-二项展开式的系数