2008-福建卷理-13 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式展开式中各项系数和的求解，利用“赋值法”给自变量赋予特定特殊值可迅速得出结果。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 若 $(x-2{)}^5=a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$，则 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=$ Its_Value .（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $x=1$，求出包含所有系数的和 $a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$。
2. 令 $x=0$，求出常数项 $a_0$。
3. 两式相减，即可得到目标式 $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ 的值。

✅【答案】

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$31$

✍【详细解析】

Abstract

已知恒等式：$(x-2{)}^5=a_5{x}^5+a_4{x}^4+a_3{x}^3+a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$ 令 $x=1$，代入得： $(1-2{)}^5=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0⟹a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=-1$ 令 $x=0$，代入得： $(0-2{)}^5=a_0⟹a_0=-32$ 将 $a_0=-32$ 代入前式可得： $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=-1-a_0=-1-(-32)=31$ 故答案为：31

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多项式展开式的系数和与赋值法的对应关系。
2. 核心方法：

• 令 $x=1$ 可得全部系数之和 $a_0+a_1+\cdots +a_n$。
• 令 $x=0$ 可得常数项 $a_0$。

3. 避坑指南：审题时需注意目标式中不包含常数项 $a_0$，不可直接将 $x=1$ 的结果作为答案，必须通过减去 $a_0$ 修正。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 源于教材中二项式定理的典型课后习题。
5. 结论推广: 对于任意多项式 $f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0$，其各项系数和为 $f(1)$，除常数项外的系数和为 $f(1)-f(0)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-06 单-二项式定理
• 2009-四川卷文-14 填-二项式常数项
• 2009-四川卷理-13 填-二项式定理