2008-辽宁卷文-13 填-指数函数反函数

本题导读

$y=e^{2x+1}\Rightarrow 2x+1=\ln y\Rightarrow x=\frac{\ln y-1}{2}$，故反函数为 $y=\frac{1}{2}(\ln x-1)$（$x>0$）.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 函数 $y=e^{2x+1}$（$-\infty <x<+\infty$）的反函数是　　　.

🔍【思路分析】

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指数函数的反函数是对数函数；反解时先取自然对数，再解出 $x$，最后交换变量并标注定义域.

✅【答案】

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$y=\frac{1}{2}(\ln x-1)$，$x>0$

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=e^{2x+1}$（$y>0$），两边取自然对数得 $2x+1=\ln y$，即 $2x=\ln y-1$，$x=\frac{\ln y-1}{2}$．交换 $x$、$y$，得反函数为 $y=\frac{1}{2}(\ln x-1)$，其中 $x>0$（即原函数的值域）.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数函数的反函数

核心方法：反解 $y=e^{2x+1}$：取对数、解 $x$、交换变量、标定义域

避坑指南：反函数定义域是原函数的值域 $x>0$，别漏；$2x+1=\ln y$ 解出 $x=\frac{\ln y-1}{2}$，系数 $\frac{1}{2}$ 和常数 $-1$ 都要正确处理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材反函数概念，指数与对数互逆

结论推广：$y=a^x$ 的反函数是 $y={\log }_{a}x$；$y=e^{2x+1}$ 反解得 $x=\frac{\ln y-1}{2}$

方法推广：求反函数三步：反解、换字母、标定义域（原函数值域）；含复合指数的先取对数再解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2001-大纲理-06 单-反函数的概念与求解方法
• 2000-上海卷理-05 填-反函数的概念与性质