2008-辽宁卷文-21 解-椭圆轨迹与向量垂直

本题导读

(1)$C:\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{4}=1$，即 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$；(2)$(k^2+4)x^2+2kx-3=0$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 得 $k^2=\frac{1}{4}$，$k=\pm \frac{1}{2}$，$|AB|=\frac{4\sqrt{65}}{17}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，点 $P$ 到两点 $(0,-\sqrt{3})$，$(0,\sqrt{3})$ 的距离之和为 $4$，设点 $P$ 的轨迹为 $C$．

(1)写出 $C$ 的方程；

(2)设直线 $y=kx+1$ 与 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点，$k$ 为何值时 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$？此时 $|AB|$ 的值是多少？

🔍【思路分析】

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(1)到两定点距离之和为定值的轨迹是椭圆，焦点在 $y$ 轴上，直接由定义写方程. (2)联立消 $y$ 得关于 $x$ 的二次方程，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_A{x}_B+y_A{y}_B=0$，用韦达定理代入解 $k$；弦长用 $\sqrt{1+k^2}|x_A-x_B|$.

✅【答案】

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(1)$x^2+\frac{y^2}{4}=1$；(2)$k=\pm \frac{1}{2}$，此时 $|AB|=\frac{4\sqrt{65}}{17}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)椭圆的两个焦点为 $(0,-\sqrt{3})$ 和 $(0,\sqrt{3})$，故半焦距 $c=\sqrt{3}$．由点 $P$ 到两焦点的距离之和为 $4$，得长轴长 $2a=4$，即 $a=2$，因而 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$，且长轴在 $y$ 轴上，所以 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$，即 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$． (2)设直线与椭圆的交点横坐标分别为 $x_1$，$x_2$，将 $y=kx+1$ 代入椭圆方程：$\frac{x^2}{1}+\frac{(kx+1{)}^2}{4}=1$，整理得 $(k^2+4)x^2+2kx-3=0$．由韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{2k}{k^2+4}$，$x_1{x}_2=-\frac{3}{k^2+4}$． 由于 $A(x_1,k{x}_1+1)$，$B(x_2,k{x}_2+1)$，$\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ 等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，即 $x_1{x}_2+(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=0$，展开得 $(1+k^2)x_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1=0$，代入韦达定理：$(1+k^2)\cdot \frac{-3}{k^2+4}+k\cdot \frac{-2k}{k^2+4}+1=0$，即 $\frac{-3-3k^2-2k^2+k^2+4}{k^2+4}=0$，整理得 $\frac{1-4k^2}{k^2+4}=0$，所以 $k^2=\frac{1}{4}$，即 $k=\frac{1}{2}$ 或 $k=-\frac{1}{2}$． 弦长 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，当 $k^2=\frac{1}{4}$ 时，判别式 $\Delta =(2k{)}^2-4(k^2+4)(-3)=4k^2+12k^2+48=16k^2+48=52$，故 $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{k^2+4}=\frac{\sqrt{52}}{\frac{17}{4}}=\frac{8\sqrt{13}}{17}$．于是 $|AB|=\frac{\sqrt{5}}{2}\cdot \frac{8\sqrt{13}}{17}=\frac{4\sqrt{65}}{17}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义、直线与椭圆及向量垂直

核心方法：由定义写椭圆方程，联立后韦达定理代入数量积为零，弦长用 $\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

避坑指南：焦点在 $y$ 轴，$a=2$、$b=1$，方程是 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$，别写成 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$；$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)$ 中的 $+1$ 别漏，弦长分母 $k^2+4=\frac{17}{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材椭圆定义与直线、向量的综合

结论推广：到两定点距离之和为定值的轨迹是椭圆；$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 配合韦达定理解 $k$

方法推广：椭圆定义问题先定 $a$、$c$、$b$ 与焦点轴；向量垂直用数量积为零翻译成坐标式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.04 椭圆与双曲线性质深度对比表

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质