2008-辽宁卷理-06 单-导数

本题导读

本题结合二次函数考查导数的几何意义以及三角函数有界性，解题核心是将倾斜角的取值范围转化为切线斜率（即导数值）的取值范围。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 设 $P$ 为曲线 $C:y=x^2+2x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$处切线倾斜角的取值范围是 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则点 $P$ 横坐标的取值范围是 ()

A. $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$　　　B. $[-1,0]$　　　C. $[0,1]$　　　D. $\left[\frac{1}{2},1\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据导数的几何意义，求出曲线在任意点处的切线斜率函数。
2. 依据倾斜角 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 确定斜率 $k=\tan \alpha$ 的取值范围。
3. 建立关于横坐标 $x$ 的一元一次不等式组求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对曲线方程 $y=x^2+2x+3$ 求导，得 $y^{\prime }=2x+2$。 设点 $P$ 的横坐标为 $x$，则曲线在点 $P$ 处的切线斜率 $k=2x+2$。 因为切线倾斜角 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，且斜率 $k=\tan \alpha$， 根据正切函数的单调性，当 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 时，$\tan \alpha \in [0,1]$， 即 $0\le k\le 1$。 代入斜率表达式得： $0\le 2x+2\le 1$ 各边同时减去 2 得： $-2\le 2x\le -1$ 各边同时除以 2 得： $-1\le x\le -\frac{1}{2}$ 所以点 $P$ 横坐标的取值范围是 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数在某点处导数等于该点切线斜率，正切函数在第一象限的单调性。
2. 核心方法：导数转化法、三角函数有界性分析法。
3. 避坑指南：注意倾斜角与斜率相互转化的边界。特殊地，当倾斜角包含 $\frac{\pi }{2}$ 时切线斜率不存在，需特别小心，本题范围在第一象限，不涉及此坑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由解析几何中直线的斜率概念与微积分中导数定义的交汇点进行设计的经典题型。
2. 结论推广: 对于一般二次曲线 $y=a{x}^2+bx+c$ ($a>0$)，其切线倾斜角 $\alpha \in [0,\theta ]$ ($\theta <\frac{\pi }{2}$) 时，横坐标范围满足 $0\le 2ax+b\le \tan \theta$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

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