2008-重庆卷文-10 单-二项式系数等差求项

本题导读

$1+\frac{n(n-1)}{8}=2\cdot \frac{n}{2}$ $\Rightarrow$ $n^2-9n+8=0$，$n=8$；$x^4$ 项：$k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_8^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=7$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

若 ${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^n$ 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 $x^4$ 项的系数为()

A. $6$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{n-2k}$；前三项系数别忘乘 $\frac{1}{2}$ 的幂；$n=1$ 只有两项，舍去.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{x}^{n-2k}$．前三项系数依次为 $1$，$\frac{1}{2}{\mathrm{C}}_n^1=\frac{n}{2}$，$\frac{1}{4}{\mathrm{C}}_n^2=\frac{n(n-1)}{8}$．由成等差数列，得 $1+\frac{n(n-1)}{8}=2\cdot \frac{n}{2}$，即 $n^2-9n+8=0$，解得 $n=8$ 或 $n=1$（此时展开式不足三项，舍去）．令 $8-2k=4$，得 $k=2$，故 $x^4$ 项的系数为${\mathrm{C}}_8^2\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2=28\times \frac{1}{4}=7$．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式定理与等差条件

核心方法：前三项系数含 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k$ 因子，等差中项是第二项

避坑指南：“系数”要乘 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^k$，与二项式系数 ${\mathrm{C}}_n^k$ 不同；$n=1$ 时展开式只有两项，“前三项”不成立，须舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数成等差条件，二项式与数列的交汇

结论推广：前三项系数 $1,\frac{n}{2},\frac{n(n-1)}{8}$ 成等差 $⟺n^2-9n+8=0$

方法推广：系数与二项式系数分开；条件先定 $n$ 再求指定项，两步走

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