2008-重庆卷文-19 解-导数最小切线斜率

本题导读

(1)$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-9$，最小值 $-\frac{a^2}{3}-9=-12$，$a^2=9$，$a<0$ 取 $a=-3$；(2)$f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)$：增 $(-\infty ,-1)$、$(3,+\infty )$，减 $(-1,3)$.

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(文)）

设函数 $f(x)=x^3+a{x}^2-9x-1$（$a<0$）．若曲线 $y=f(x)$ 的斜率最小的切线与直线 $12x+y=6$ 平行，

(1)求 $a$ 的值；

(2)求函数 $f(x)$ 的单调区间.

🔍【思路分析】

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(1)切线斜率即 $f^{\prime }(x)$；开口向上的导函数在顶点处取最小值，“斜率最小的切线”把顶点值与 $-12$ 挂钩.

(2)代回 $a=-3$ 后 $f^{\prime }$ 因式分解，两个根把数轴分三段.

✅【答案】

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(1)$a=-3$；(2)增区间 $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$，减区间 $(-1,3)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax-9$，其图象是开口向上的抛物线，在 $x=-\frac{2a}{6}=-\frac{a}{3}$ 处取得最小值$f^{\prime }\left(-\frac{a}{3}\right)=3\cdot \frac{a^2}{9}+2a\cdot \left(-\frac{a}{3}\right)-9=\frac{a^2}{3}-\frac{2a^2}{3}-9=-\frac{a^2}{3}-9$．直线 $12x+y=6$ 的斜率为 $-12$，由斜率最小的切线与其平行，得 $-\frac{a^2}{3}-9=-12$，即 $a^2=9$，$a=\pm 3$．又 $a<0$，所以 $a=-3$.

(2)由 $a=-3$，$f(x)=x^3-3x^2-9x-1$，$f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$．当 $x\in (-\infty ,-1)\cup (3,+\infty )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $x\in (-1,3)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$．故增区间为 $(-\infty ,-1)$ 和 $(3,+\infty )$，减区间为 $(-1,3)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导函数最值与切线斜率

核心方法：开口向上的导函数在顶点取最小值，即”斜率最小的切线”

避坑指南：$f^{\prime }$ 的最小值在 $x=-\frac{a}{3}$ 而非区间端点；$a^2=9$ 有两解，条件 $a<0$ 锁定 $a=-3$，别忘筛选

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数几何意义与二次函数最值，导数解答题基础型

结论推广：切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$；$f^{\prime }$ 为二次时最小值在顶点

方法推广：“斜率最小的切线”翻译成”$f^{\prime }$ 的最小值”；平行条件即斜率相等，负号别丢

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 2015-重庆卷文-19 解-导数极值

• 2005-重庆卷理-19 解-导数的四则运算

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