2008-陕西卷文-07 单-反函数与对数运算

本题导读

$f^{-1}(x)={\log }_{2}x-3$，$f^{-1}(m)+f^{-1}(n)={\log }_2(mn)-6={\log }_{2}16-6=4-6=-2$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)）

已知函数 $f(x)=2^{x+3}$，$f^{-1}(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数，若 $mn=16$（$m$，$n\in {\mathbf{R}}_{+}$），则 $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)$ 的值为()

A. $10$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-2$

【注】原卷此处印为指数式 $2^{x+3}$（文本提取时上标丢失，易误读为 $2x+3$），本篇按原卷影像核定录入．

🔍【思路分析】

破题导航

指数式反解：$y=2^{x+3}\Rightarrow x+3={\log }_{2}y$；$mn=16$ 是整体条件，用对数加法 ${\log }_{2}m+{\log }_{2}n={\log }_2(mn)$ 一次用足.

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

令 $y=2^{x+3}$，则 $x+3={\log }_{2}y$，$x={\log }_{2}y-3$，所以 $f^{-1}(x)={\log }_{2}x-3$（$x>0$）．于是 $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)={\log }_{2}m+{\log }_{2}n-6={\log }_2(mn)-6={\log }_{2}16-6=4-6=-2$．故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法与对数运算

核心方法：由 $y=2^{x+3}$ 反解得 $f^{-1}(x)={\log }_{2}x-3$，和式用 ${\log }_{2}m+{\log }_{2}n={\log }_2(mn)$ 整体合并

避坑指南：$mn=16$ 是整体条件，别试图分别求出 $m$、$n$；反函数表达式中两个 $-3$ 合计 $-6$，别丢掉一个

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材反函数一节与对数运算性质的组合

结论推广：若 $f(x)=a^{x+c}$，则 $f^{-1}(x)={\log }_{a}x-c$，且 $f^{-1}(m)+f^{-1}(n)={\log }_a(mn)-2c$

方法推广：反函数问题先反解、后整体代入；条件是”积为定值”时，优先用对数把乘法化加法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-07

• 2009-陕西卷理-03

• 2005-全国卷II理-03 单-反函数的概念与求法