2008-陕西卷文-16 填-火炬传递分步计数

本题导读

第一棒甲或乙：$2\times 1\times 4!=48$；第一棒丙：$1\times 2\times 4!=48$；共 $48+48=96$ 种.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 某地奥运火炬接力传递路线共分 $6$ 段，传递活动分别由 $6$ 名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有　　　种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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首、尾是特殊位置，优先安排；甲、乙既可能出现在第一棒又可能出现在最后一棒，两类受限位置的取值集合相交，必须分类去重.

✅【答案】

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$96$

✍【详细解析】

Abstract

第一类：第一棒是甲或乙．第一棒有 $2$ 种选法；此时甲、乙中已用去一人，最后一棒只能是另一人，有 $1$ 种；中间四棒由其余 $4$ 人全排列，有 $4!=24$ 种．小计 $2\times 1\times 24=48$ 种． 第二类：第一棒是丙．第一棒有 $1$ 种；最后一棒从甲、乙两人中选，有 $2$ 种；中间四棒 $4!=24$ 种．小计 $1\times 2\times 24=48$ 种． 由分类加法原理，共有 $48+48=96$ 种不同的传递方案.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类与分步计数原理的综合应用

核心方法：按”第一棒是否占用甲、乙”分类，类内分步：特殊位置（首、尾）优先安排

避坑指南：第一棒为甲或乙时，最后一棒只剩另一人，只有 $1$ 种而非 $2$ 种；两类之间不重复不遗漏，中间四棒是全排列 $4!$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材计数原理章节”特殊元素、特殊位置优先”策略

结论推广：两端受限的排列按受限位置取值集合是否相交分类，类内分步计数

方法推广：受限排列先画位置框架、标出每格可选集合；集合有交集（本题甲、乙既可在首又可在尾）必须分类去重

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-16
• 2007-陕西卷理-16 填-分类计数原理分步计数原理
• 2006-陕西卷理-16 填-排列与组合的混合应用