2008-陕西卷文-20 解-递推构造与错位相减

本题导读

$\frac{1}{a_n}-1=\frac{1}{2^n}$，$a_n=\frac{2^n}{2^n+1}$；$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+2-\frac{n+2}{2^n}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=\frac{2}{3}$，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+1}$，$n=1,2,\cdots$．

(1)证明：数列 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 是等比数列；

(2)求数列 $\left\{\frac{n}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

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(1)分式递推先取倒数：$\frac{1}{a_{n+1}}$ 用 $a_n$ 表示后，"$-1$" 恰好按公比 $\frac{1}{2}$ 传递. (2)通项拆成 $n+\frac{n}{2^n}$：前段等差求和，后段等差 $\times$ 等比用错位相减.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$S_n=\frac{n(n+1)}{2}+2-\frac{n+2}{2^n}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)由递推关系式，$a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+1}$，取倒数得 $\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{a_n+1}{2a_n}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_n}+1\right)$，所以 $\frac{1}{a_{n+1}}-1=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_n}-1\right)$．又 $\frac{1}{a_1}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\ne 0$，所以数列 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$、公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列. (2)由(1)，$\frac{1}{a_n}-1=\frac{1}{2}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{1}{2^n}$，即 $\frac{1}{a_n}=1+\frac{1}{2^n}$，所以 $a_n=\frac{2^n}{2^n+1}$，$\frac{n}{a_n}=n+\frac{n}{2^n}$．于是 $S_n=\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}=\frac{n(n+1)}{2}+T_n$． 令 $T_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^k}$，则 $2T_n=\sum _{k=1}^n\frac{k}{2^{k-1}}$，两式相减：$T_n=1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}-\frac{n}{2^n}=2\left(1-\frac{1}{2^n}\right)-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．故 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}+2-\frac{n+2}{2^n}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推数列取倒数构造等比与错位相减求和

核心方法：对 $a_{n+1}=\frac{2a_n}{a_n+1}$ 取倒数分离出 $\frac{1}{a_{n+1}}-1$；$\frac{n}{a_n}=n+\frac{n}{2^n}$ 拆成等差加等比错位

避坑指南：等比数列 $\left\{\frac{1}{a_n}-1\right\}$ 的首项是 $\frac{1}{a_1}-1=\frac{1}{2}$，别把首项写成 $\frac{1}{a_1}$；错位相减后别忘减尾巴 $\frac{n+2}{2^n}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材数列求和章节：构造法与错位相减法

结论推广：形如 $a_{n+1}=\frac{p{a}_n}{q{a}_n+r}$ 的递推取倒数即可构造等比；$\sum \frac{k}{2^k}=2-\frac{n+2}{2^n}$ 是常用结论

方法推广：分式递推先取倒数看结构；等差 $\times$ 等比型求和用错位相减：乘公比、错一位、相减、剩余等比，最后别忘减末项尾巴

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-22
• 2006-陕西卷理-20 解-等比中项的性质
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系