2009-上海卷文-03 填-三阶行列式代数余子式

本题导读

考查行列式。元素 $4$ 的代数余子式为 $\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 8& 9\end{array}\right|=9x-24>0$，得 $x>\frac{8}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 若行列式 $\left|\begin{array}{ccc}4& 5& x\\ 1& x& 3\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$ 中，元素 $4$ 的代数余子式大于 $0$，则 $x$ 满足的条件是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 元素 $4$ 位于第 $1$ 行第 $1$ 列，其代数余子式 $C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 8& 9\end{array}\right|$。
2. $C_{11}=9x-24>0\Rightarrow x>\frac{8}{3}$。

✅【答案】

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$x>\frac{8}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

元素 $4$ 位于行列式的第 $1$ 行第 $1$ 列，其代数余子式为 $C_{11}=(-1{)}^{1+1}\left|\begin{array}{cc}x& 3\\ 8& 9\end{array}\right|=9x-3\times 8=9x-24$。 由题意 $9x-24>0$，解得 $x>\frac{8}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三阶行列式与代数余子式

核心方法：划去所在行列 + 解不等式

避坑指南：代数余子式带着符号 $(-1{)}^{i+j}$：元素 $4$ 在 $(1,1)$，符号为正；余下二阶行列式按剩余元素排列，别抄错位置。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：行列式与代数余子式是上海教材特色内容。

结论推广：$C_{11}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{22}& a_{23}\\ a_{32}& a_{33}\end{array}\right|$（划去第 $1$ 行第 $1$ 列）。

方法推广：$C_{11}=9x-3\times 8$：副对角线乘积带负号，$-24$ 的符号别写错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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