2009-上海卷理-13 填-曼哈顿距离的

本题导读

本题考查曼哈顿距离的实际应用、中位数在距离最值问题中的最优性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 1，两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 $(-2,2)$, $(3,1)$, $(3,4)$, $(-2,3)$, $(4,5)$, $(6,6)$ 为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）$\underline{}$为发行站，使 6 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数学模型建构：格点两点间的沿街距离为曼哈顿距离 $d=|x-x_0|+|y-y_0|$。总距离和 $W={\sum }_{i=1}^6|x_i-x_0|+{\sum }_{i=1}^6|y_i-y_0|$。

2. 独立拆分降元：由于 $x$ 和 $y$ 互不干扰，可将问题拆分为单独寻找 $x_0$ 使得 $\sum |x_i-x_0|$ 最小，以及寻找 $y_0$ 使得 $\sum |y_i-y_0|$ 最小。

3. 中位数求解与排除：将 6 个零售点的横、纵坐标分别从小到大排序，找出其中位数区间。结合“除零售点外”的限制条件进行筛选。

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$(3,3)$

✍【详细解析】

Abstract

设发行站的坐标为 $(x_0,y_0)$。6 个零售点的横坐标集合为 $\{-2,3,3,-2,4,6\}$，纵坐标集合为 $\{2,1,4,3,5,6\}$。

1. 优化横坐标 $x_0$： 将横坐标从小到大排序：$-2,-2,3,3,4,6$。 由于数据个数为 6（偶数），能使绝对值之和最小的 $x_0$ 必位于最中间的两个数之间（包含边界），即 $x_0\in [3,3]$。 因此，最优横坐标唯一确定为 $x_0=3$。

2. 优化纵坐标 $y_0$： 将纵坐标从小到大排序：$1,2,3,4,5,6$． 同理，能使绝对值之和最小的 $y_0$ 必位于最中间的第三个数 $3$ 和第四个数 $4$ 之间，即 $y_0\in [3,4]$。 由于发行站必须是格点，故 $y_0$ 只能取整数 $3$ 或 $4$。

综上组合，最优的格点候选为 $(3,3)$ 或 $(3,4)$。 此时审查题目限制条件：“除零售点外”。 已知已知零售点列表中包含 $(3,4)$，故 $(3,4)$ 必须被排除。 所以最终唯一的理想格点只能是 $(3,3)$。 故填 $(3,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式几何意义的推广——一维点集绝对误差和的极小值点为其中位数。

2. 核心方法：利用坐标分解，化二维平面网格步长问题为两个一维线段距离和问题。

3. 避坑指南：一定要仔细校对最后算出的点是否与已知的 6 个零售点重合，若忽略“除零售点外”的提示而误填了 $(3,4)$，将造成完全失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是典型的运筹学与设施选址问题（Facility Location Problem）在初等数学中的投影，完美融合了绝对值函数的几何性质。

2. 结论推广: 在二维曼哈顿距离场中，给定 $n$ 个点，欲寻一点使其到各点距离和最小：当 $n$ 为奇数时，最优解为横纵坐标各自的中央中位数点；当 $n$ 为偶数时，最优解是横纵坐标各自中间两数组成的闭矩形区域内的任意点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$(3,3).$

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-20 解-曼哈顿距离