2009-四川卷理-19 解-面面垂直

本题导读

本题是一道立几综合大题。第一问要求通过面面垂直性质与三角形角度互余关系证明线面垂直；第二问考查探索性线面平行问题，常用中点构造面面平行进行解决；第三问借助空间直角坐标系求平面法向量以精确求解二面角。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 如图，正方形 $ABCD$ 所在平面与平面四边形 $ABEF$ 所在平面互相垂直，$△ABE$ 是等腰直角三角形，$AB=AE$，$FA=FE$，$\angle AEF=45^{\circ }$．

(1) 求证：$EF\perp$ 平面 $BCE$；

(2) 设线段 $CD$ 的中点为 $P$，在直线 $AE$ 上是否存在一点 $M$，使得 $PM\parallel$ 平面 $BCE$？若存在，请指出点 $M$ 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；

(3) 求二面角 $F-BD-A$ 的大小．

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由面面垂直性质可得 $BC\perp$ 平面 $ABEF⟹BC\perp EF$。再由等腰直角三角形及已知角证出 $\angle FEB=90^{\circ }$，即可得证。
2. 第二问：利用中点性质，取 $AB$ 中点 $Q$，构造平行关系。当 $M$ 为 $AE$ 中点时，可证平面 $PMQ\parallel$ 平面 $BCE$。
3. 第三问：以 $A$ 为原点， $AD,AB,AE$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面 $FBD$ 与平面 $ABD$ 的法向量，利用向量夹角公式求解。

✅【答案】

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所以𝜃= arccos3√11

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：因为正方形 $ABCD$ 中 $BC\perp AB$，平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABEF$，且平面 $ABCD\cap$ 平面 $ABEF=AB$， 所以 $BC\perp$ 平面 $ABEF$。 又 $EF\subset$ 平面 $ABEF$，所以 $BC\perp EF$。 在平面 $ABEF$ 内，因为 $△ABE$ 是等腰直角三角形，$AB=AE$，所以 $\angle AEB=45^{\circ }$。 又 $\angle AEF=45^{\circ }$，所以 $\angle FEB=\angle AEF+\angle AEB=90^{\circ }$，即 $EF\perp BE$。 因为 $BC\cap BE=E$，且 $BC,BE\subset$ 平面 $BCE$， 所以 $EF\perp$ 平面 $BCE$。

(2) 解：存在一点 $M$，当 $M$ 为线段 $AE$ 的中点时，$PM\parallel$ 平面 $BCE$。 证明如下： 取 $AB$ 的中点为 $Q$，连接 $PQ,MQ$。 因为 $P,Q$ 分别为 $CD,AB$ 的中点，且 $ABCD$ 是正方形，所以 $PQ\parallel BC$。 因为 $PQ\not\subset$ 平面 $BCE$，$BC\subset$ 平面 $BCE$，所以 $PQ\parallel$ 平面 $BCE$。 在 $△ABE$ 中，$M,Q$ 分别为 $AE,AB$ 的中点，所以 $MQ\parallel BE$。 因为 $MQ\not\subset$ 平面 $BCE$，$BE\subset$ 平面 $BCE$，所以 $MQ\parallel$ 平面 $BCE$． 又 $PQ\cap MQ=Q$，所以平面 $PMQ\parallel$ 平面 $BCE$。 因为 $PM\subset$ 平面 $PMQ$，所以 $PM\parallel$ 平面 $BCE$。

(3) 解：由 $△ABE$ 是等腰直角三角形，$AB=AE$，可知 $\angle BAE=90^{\circ }$，即 $AE\perp AB$。 又平面 $ABCD\perp$ 平面 $ABEF$，可得 $AE\perp$ 平面 $ABCD$。 以 $A$ 为坐标原点， $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}$ 的方向分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。 设 $AB=2$，则 $AE=2$。 由 $FA=FE$ 且 $\angle AEF=45^{\circ }$ 可知，$△FAE$ 是以 $\angle AFE=90^{\circ }$ 的等腰直角三角形。 由此可计算出各点坐标为： $A(0,0,0)$， $B(0,2,0)$， $D(2,0,0)$， $E(0,0,2)$， $F(0,-1,1)$。

平面 $ABD$ 的一个法向量为 ${\mathbf{n}}_1=(0,0,1)$。 设平面 $FBD$ 的法向量为 ${\mathbf{n}}_2=(x,y,z)$。 由 $\overrightarrow{BD}=(2,-2,0)$， $\overrightarrow{BF}=(0,-3,1)$， 则 $\{\begin{array}{l}{\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=2x-2y=0\\ {\mathbf{n}}_2\cdot \overrightarrow{BF}=-3y+z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=y\\ z=3y\end{array}$。 令 $y=1$，得 ${\mathbf{n}}_2=(1,1,3)$。

设二面角 $F-BD-A$ 的平面角为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角： $\cos \theta =\frac{|{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2|}{|{\mathbf{n}}_1||{\mathbf{n}}_2|}=\frac{3}{1\times \sqrt{1^2+1^2+3^2}}=\frac{3}{\sqrt{11}}=\frac{3\sqrt{11}}{11}$

所以二面角 $F-BD-A$ 的大小为 $\arccos \frac{3\sqrt{11}}{11}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直转化为线面垂直；通过面面平行转化线面平行；利用两平面法向量的夹角计算二面角。
2. 核心方法：空间直角坐标系建系与法向量求解法。
3. 避坑指南：第一问极易遗漏“交线”这一面面垂直性质定理的关键核心前提条件；第三问确定点 $F$ 的坐标时，要看清 $F$ 在 $yz$ 平面内的象限（ $y$ 轴负半轴），避免符号出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自必修二立体几何初步中关于垂直与平行性质的综合大题。将翻折模型与多面体组合，考查了高中立几的两大核心支柱——综合几何证明与空间向量计算。
2. 结论推广：对于两个互相垂直的平面，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，这是空间中寻找两两垂直基底（建系）最常用的几何判据。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角