2009-大纲卷II理-07 单-对数

本题导读

本题考查对数式大小的比较，意在考查学生对对数函数单调性及特殊对数值（如 0, 0.5, 1）作为“中介值”熟练运用的能力。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(理)） 设 $a={\log }_3\pi$, $b={\log }_2\sqrt{3}$, $c={\log }_3\sqrt{2}$, 则 ()

A. $a>b>c$　　B. $a>c>b$　　C. $b>a>c$　　D. $b>c>a$

🔍【思路分析】

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1. 分析各个对数式的底数与真数关系，利用常见的中介值（0, 0.5, 1）对各个数值进行区间定位。

2. 比较定位后的区间大小，得出最终的不等关系。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对于 $a={\log }_3\pi$，因为 $\pi >3$，且底数 $3>1$，所以 $a>{\log }_{3}3=1$。 对于 $b={\log }_2\sqrt{3}=\frac{1}{2}{\log }_{2}3$，因为 $3>2$，所以 ${\log }_{2}3>1$，进而有 $b>\frac{1}{2}$；又因为 $\sqrt{3}<2$，所以 $b<{\log }_{2}2=1$。即 $\frac{1}{2}<b<1$。 对于 $c={\log }_3\sqrt{2}=\frac{1}{2}{\log }_{3}2$，因为 $2<3$，所以 ${\log }_{3}2<1$，进而有 $c<\frac{1}{2}$；且真数大于 1，故 $c>0$。即 $0<c<\frac{1}{2}$。 综上所述，$a>1$, $\frac{1}{2}<b<1$, $0<c<\frac{1}{2}$，从而有 $a>b>c$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的单调性与大小比较。

2. 核心方法：中介值法（通过与特殊常数 0, $\frac{1}{2}$, 1 进行比较）。

3. 避坑指南：切忌盲目估算具体数值导致偏差，利用函数的单调性划分合理的取值区间是确保准确的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为高考经典的函数大小比较题型，重点考查对数换底公式与单调性的结合。

2. 结论推广：若 $x>1>y>0$，则对于不同的底数，可通过转化为同一中介区间实现快速定序。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间