2009-天津卷理-04 单-导数

本题导读

本题考查利用导数分析函数的单调性，并结合零点存在性定理判断连续函数在指定区间内零点的分布情况。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{1}{3}x-\ln x(x>0)$，则 $y=f(x)$ ()

A. 在区间 $(\frac{1}{e},1)$, $(1,e)$ 内均有零点

B. 在区间 $(\frac{1}{e},1)$, $(1,e)$ 内均无零点

C. 在区间 $(\frac{1}{e},1)$ 内有零点，在区间 $(1,e)$ 内无零点

D. 在区间 $(\frac{1}{e},1)$ 内无零点，在区间 $(1,e)$ 内有零点

🔍【思路分析】

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1. 对函数 $f(x)$ 求导，判断其在相关区间上的单调性。

2. 计算区间端点值 $f(\frac{1}{e})$、$f(1)$、$f(e)$ 的正负符号，利用函数单调性与零点存在性定理得出结论。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(x)=\frac{1}{3}x-\ln x$ 求导得： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}-\frac{1}{x}=\frac{x-3}{3x}$ 当 $x\in (0,3)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，故 $f(x)$ 在 $(0,3)$ 上单调递减。 因为 $\frac{1}{e}<1<e<3$，所以 $f(x)$ 在对应区间 $(\frac{1}{e},e)$ 上严格单调递减。 计算关键点函数值： $f(\frac{1}{e})=\frac{1}{3e}-\ln (\frac{1}{e})=\frac{1}{3e}+1>0$， $f(1)=\frac{1}{3}-\ln 1=\frac{1}{3}>0$， $f(e)=\frac{e}{3}-\ln e=\frac{e}{3}-1<0$ （因 $e\approx 2.718<3$）。 在区间 $(\frac{1}{e},1)$ 内，由于 $f(1)>0$ 且函数单调递减，函数值恒大于 0，故无零点； 在区间 $(1,e)$ 内，由于 $f(1)>0$ 且 $f(e)<0$，由零点存在性定理可知，该区间内必有零点。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数在函数单调性中的应用，函数零点存在性定理。

2. 核心方法：单调性结合端点值正负判定零点个数。

3. 避坑指南：不能仅凭端点符号盲目判断，必须先确定函数在该区间内的单调性；估算 $f(e)$ 的正负时，需准确记忆自然底数 $e$ 的取值范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高等数学中连续函数介值定理在初等函数零点判定中的基本应用，属于典型的导数与函数综合中档题。

2. 结论推广: 若连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上严格单调，则 $f(a)\cdot f(b)<0$ 是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内有且仅有一个零点的充要条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较