2009-天津卷理-06 单-指数

本题导读

本题结合等比中项与指数运算考查基本不等式的应用，核心在于通过“常数代换法”求解代数式的最小值。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 设 $a>0,b>0$.若 $\sqrt{3}$ 是 $3^a$ 与 $3^b$ 的等比中项，则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 ()

A. 8　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据等比中项的定义列出方程 $(\sqrt{3}{)}^2=3^a\cdot 3^b$，化简得到 $a+b=1$。

2. 将 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 乘以 $(a+b)$ 进行常数代换，展开后利用基本不等式求出最小值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sqrt{3}$ 是 $3^a$ 与 $3^b$ 的等比中项得： $(\sqrt{3}{)}^2=3^a\cdot 3^b⟹3^1=3^{a+b}⟹a+b=1$ 因为 $a>0,b>0$，所以： $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$ 由基本不等式得： $2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\ge 2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot \frac{a}{b}}=4$ 当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$ 即 $a=b=\frac{1}{2}$ 时等号成立。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比中项的性质、指数幂的运算特征、基本不等式求最值。

2. 核心方法：“1”的代换法（常数代换法）。

3. 避坑指南：在使用基本不等式时，必须验证等号成立的条件（即 $a=b$）是否在变量的取值范围内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是由课本中指数函数运算性质与基本不等式这一经典组合题型改编而来。

2. 结论推广: 若 $a>0,b>0$ 且 $a+b=m$（$m$ 为常数），则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为 $\frac{4}{m}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式
• 2015-江苏卷-07 填-指数不等式
• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式