2009-天津卷理-20 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义以及利用导数研究含参函数的单调性与极值。核心在于对导函数中二次因式进行正确因式分解，并根据参数范围对根的大小关系进行分类讨论。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=(x^2+ax-2a^2+3a)e^x$ ($x\in \mathbf{R}$)，其中 $a\in \mathbf{R}$.

(1) 当 $a=0$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线的斜率；

(2) 当 $a\ne \frac{2}{3}$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间与极值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：将 $a=0$ 代入函数解析式并求导，计算 $f^{\prime }(1)$ 即得切线斜率。

2. 第二问：对函数 $f(x)$ 求导并因式分解，解得导函数零点为 $x_1=a-2$ 与 $x_2=-2a$。通过比较两根大小（即以 $a=\frac{2}{3}$ 为分界点）分为 $a>\frac{2}{3}$ 和 $a<\frac{2}{3}$ 两种情况，分别讨论导数的正负符号，进而确定单调区间与极值。

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当 $a>\frac{2}{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-2a)$ 和 $(a-2,+\infty )$，单调递减区间为 $(-2a,a-2)$；极大值为 $3a{e}^{-2a}$，极小值为 $(4-3a)e^{a-2}$

✍【详细解析】

Abstract

解：对函数 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=(2x+a)e^x+(x^2+ax-2a^2+3a)e^x=[x^2+(a+2)x-2a^2+4a]e^x$ 由于 $\Delta =(a+2{)}^2-4(-2a^2+4a)=9a^2-12a+4=(3a-2{)}^2$。 故可将导函数因式分解为： $f^{\prime }(x)=[x-(a-2)][x-(-2a)]e^x$ 令 $f^{\prime }(x)=0$，解得 $x_1=a-2$，$x_2=-2a$。

(1) 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=(x^2+2x)e^x$。 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=(1^2+2\times 1)e^1=3e$。

(2) 当 $a\ne \frac{2}{3}$ 时，需比较 $a-2$ 与 $-2a$ 的大小： 由 $(a-2)-(-2a)=3a-2$ 知：

① 当 $a>\frac{2}{3}$ 时，$a-2>-2a$，此时 $-2a$ 为较小根。

• 当 $x\in (-\infty ,-2a)\cup (a-2,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (-2a,a-2)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$， $f(x)$ 单调递减。 此时， 函数在 $x=-2a$ 处取得极大值，极大值为 $f(-2a)=[(-2a{)}^2+a(-2a)-2a^2+3a]e^{-2a}=3a{e}^{-2a}$； 函数在 $x=a-2$ 处取得极小值，极小值为 $f(a-2)=[(a-2{)}^2+a(a-2)-2a^2+3a]e^{a-2}=(4-3a)e^{a-2}$。

② 当 $a<\frac{2}{3}$ 时，$a-2<-2a$，此时 $a-2$ 为较小根。

• 当 $x\in (-\infty ,a-2)\cup (-2a,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 单调递增；
• 当 $x\in (a-2,-2a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$， $f(x)$ 单调递减。 此时， 函数在 $x=a-2$ 处取得极大值，极大值为 $f(a-2)=(4-3a)e^{a-2}$； 函数在 $x=-2a$ 处取得极小值，极小值为 $f(-2a)=3a{e}^{-2a}$．

综上所述： 当 $a>\frac{2}{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,-2a)$ 和 $(a-2,+\infty )$，单调递减区间为 $(-2a,a-2)$；极大值为 $3a{e}^{-2a}$，极小值为 $(4-3a)e^{a-2}$。 当 $a<\frac{2}{3}$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,a-2)$ 和 $(-2a,+\infty )$，单调递减区间为 $(a-2,-2a)$；极大值为 $(4-3a)e^{a-2}$，极小值为 $3a{e}^{-2a}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线斜率应用、含参一元二次式零点大小讨论、函数单调性与极值的判定标准。

2. 核心方法：根轴法确定导数符号分布，零点大小比较分类讨论。

3. 避坑指南：求导后面对较为复杂的二次多项式容易错失因式分解的机会，可通过求判别式 $\Delta$ 辅助确定其根的表达式；在写单调区间时，递增（或递减）的两个独立区间中间应用“和”字或逗号连接，切忌使用并集符号“$\cup$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是高等数学中利用泰勒级数构造初等函数形态在高考中的具体体现，属于“多项式 $\times$ 指数函数”经典导数大题模型。

2. 结论推广: 对于 $f(x)=P(x)e^x$ 型函数，其导数形式必为 $f^{\prime }(x)=[P(x)+P^{\prime }(x)]e^x$，其单调性与极值位置完全由多项式 $P(x)+P^{\prime }(x)$ 的零点分布所决定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较