2009-安徽卷理-19 解-导数

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 已知函数 $f(x)=x-\frac{2}{x}+a(2-\ln x)(a>0)$．讨论 $f(x)$ 的单调性．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定函数定义域为 $(0,+\infty )$，求出导函数 $f^{\prime }(x)$ 并通分得到 $\frac{x^2-ax+2}{x^2}$．
2. 由于分母恒正，导函数的符号完全由分子二次三项式 $g(x)=x^2-ax+2$ 决定．
3. 计算分子二次式的判别式 $\Delta =a^2-8$，根据 $\Delta ⩽0$ 和 $\Delta >0$ 进行分类讨论，结合定义域判断单调区间．

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• 当 $0<a⩽2\sqrt{2}$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty )$，无单调递减区间；- 当 $a>2\sqrt{2}$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0, \frac{a - \sqrt{a^2 - 8}

✍【详细解析】

Abstract

解：函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$． 求导得： $f^{\prime }(x)=1+\frac{2}{x^2}-\frac{a}{x}=\frac{x^2-ax+2}{x^2}$． 令 $g(x)=x^2-ax+2$．由于 $x>0$， $f^{\prime }(x)$ 与 $g(x)$ 的符号相同． 二次方程 $x^2-ax+2=0$ 的判别式 $\Delta =a^2-8$． 结合 $a>0$，分以下两种情况讨论：

① 当 $\Delta ⩽0$ 即 $0<a⩽2\sqrt{2}$ 时， $\Delta =a^2-8⩽0$． 此时 $g(x)⩾0$ 恒成立，即 $f^{\prime }(x)⩾0$ 在 $(0,+\infty )$ 上恒成立． 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增．

② 当 $\Delta >0$ 即 $a>2\sqrt{2}$ 时， $\Delta =a^2-8>0$． 方程 $x^2-ax+2=0$ 有两个不同的实数根： $x_1=\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2},x_2=\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}$ 由韦达定理知 $x_1{x}_2=2>0$ 且 $x_1+x_2=a>0$，故两根均为正数，且 $0<x_1<x_2$． 当 $x\in (0,x_1)$ 时， $g(x)>0⟹f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (x_1,x_2)$ 时， $g(x)<0⟹f^{\prime }(x)<0$， $f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (x_2,+\infty )$ 时， $g(x)>0⟹f^{\prime }(x)>0$， $f(x)$ 单调递增．

综上所述：

• 当 $0<a⩽2\sqrt{2}$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $(0,+\infty )$，无单调递减区间；
• 当 $a>2\sqrt{2}$ 时， $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(0,\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2},+\infty \right)$，单调递减区间为 $\left(\frac{a-\sqrt{a^2-8}}{2},\frac{a+\sqrt{a^2-8}}{2}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数符号与单调性的对应关系；含参一元二次多项式的根分布判定．
2. 核心方法：判别式分类讨论法．
3. 避坑指南：求导通分后切勿忽略 $x>0$ 的定义域限制。在 $\Delta >0$ 时，必须通过韦达定理或根的大小分析确定两个根全部落在正半轴，从而才能正确划分出三个单调区间．

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中利用导数研究含参复合函数单调性的标准解答题模型，是考查分类讨论严密性的高频基准题．
2. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=px+\frac{q}{x}-a\ln x(p>0,q>0)$ 的导数符号讨论，均可直接化归为研究二次多项式 $p{x}^2-ax+q=0$ 的零点存在性与区间分布规律．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较