2009-山东卷理-21 解-导数

本题导读

本题考查函数解析式的构建（实际应用问题）、利用导数研究函数的单调性与最值。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年山东卷(理)） 两县城 $A$ 和 $B$ 相距 $20\text{ km}$，现计划在两县城外以 $AB$ 为直径的半圆弧 $\widehat{AB}$ 上选择一点 $C$ 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为城 $A$ 与城 $B$ 的影响度之和．记 $C$ 点到城 $A$ 的距离为 $x\text{ km}$，建在 $C$ 处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $y$．统计调查表明：垃圾处理厂对城 $A$ 的影响度与所选地点到城 $A$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $4$；对城 $B$ 的影响度与所选地点到城 $B$ 的距离的平方成反比，比例系数为 $k$，当垃圾处理厂建在 $\widehat{AB}$ 的中点时，对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度为 $0.065$．

(1)将 $y$ 表示成 $x$ 的函数；

(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧 $\widehat{AB}$ 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 $A$ 和城 $B$ 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 $A$ 的距离；若不存在，说明理由．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何关系转化：由 $AB$ 为直径可知 $\angle ACB=90^{\circ }$，利用勾股定理得到 $A{C}^2+B{C}^2=400$，从而用 $x$ 表示出 $B{C}^2$ 并确定定义域。

2. 待定系数求参：依据反比例关系写出 $y$ 的初步表达式，代入中点特值求出比例系数 $k$。

3. 换元与导数分析：引入中间变量 $t=x^2$ 简化代数式，通过求导判定导函数的正负，进而得出原函数的单调性与最小值点。

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存在一点使得总影响度最小，此时该点到城 $A$ 的距离为 $4\sqrt{10}\text{ km}$

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）因为 $AB$ 为直径，且点 $C$ 在半圆弧上（不与 $A,B$ 重合）， 所以 $\angle ACB=90^{\circ }$，即 $A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2=400$。 已知 $AC=x$，则 $B{C}^2=400-x^2$，自变量 $x$ 的取值范围为 $(0,20)$。

由题意，总影响度 $y=\frac{4}{A{C}^2}+\frac{k}{B{C}^2}=\frac{4}{x^2}+\frac{k}{400-x^2}$。 当垃圾处理厂建在 $\widehat{AB}$ 的中点时，$AC=BC$，即 $x^2=400-x^2=200$。 代入得 $y=\frac{4}{200}+\frac{k}{200}=0.065$，解得 $k=9$。 故所求函数解析式为：$y=\frac{4}{x^2}+\frac{9}{400-x^2}(0<x<20)$。

（2）令 $t=x^2$，由于 $0<x<20$，则 $0<t<400$。 原函数转化为 $f(t)=\frac{4}{t}+\frac{9}{400-t}$。 对 $f(t)$ 求导得： $f^{\prime }(t)=-\frac{4}{t^2}+\frac{9}{(400-t{)}^2}=\frac{9t^2-4(400-t{)}^2}{t^2(400-t{)}^2}=\frac{(5t-800)(t+800)}{t^2(400-t{)}^2}$ 因为 $0<t<400$，所以 $t+800>0$。 令 $f^{\prime }(t)=0$，解得 $t=160$。 当 $t\in (0,160)$ 时，$f^{\prime }(t)<0$，$f(t)$ 单调递减； 当 $t\in (160,400)$ 时，$f^{\prime }(t)>0$，$f(t)$ 单调递增。

又因 $t=x^2$ 在 $x\in (0,20)$ 上单调递增，且 $x=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$ 时 $t=160$： 所以当 $x\in (0,4\sqrt{10})$ 时，$y$ 单调递减； 当 $x\in (4\sqrt{10},20)$ 时，$y$ 单调递增。 综上所述，存在一点使得总影响度最小，此时该点到城 $A$ 的距离为 $4\sqrt{10}\text{ km}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：解析几何与函数应用题的结合、复合函数（换元法）的单调性判定。

2. 核心方法：利用换元法 $t=x^2$ 降低求导及因式分解的复杂度。

3. 避坑指南：必须注意实际问题中自变量的限制条件，严格写出定义域 $0<x<20$，否则会影响后续单调区间的规范表述。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题基于人教 A 版选修课程中“利用导数解决实际生活中的优化问题”相关章节改编，属于经典的条件极值应用题。

2. 结论推广: 一般地，对于函数 $f(t)=\frac{a}{t}+\frac{b}{m-t}(a>0,b>0,0<t<m)$，利用导数或柯西不等式可得，当 $t=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}m$ 时取得极小值（亦为最小值）。本题中 $a=4,b=9,m=400$，直接代入可快速验证 $t=\frac{2}{2+3}\times 400=160$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较