2009-江西卷文-09 单-四面体截面

本题导读

考查空间命题。正方形截面保证 $AC\perp BD$ 且 $AC\parallel$ 截面，$PM$ 与 $BD$ 成 $45^{\circ }$ 也可证；$AC=BD$ 一般不成立，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 如图，在四面体 $ABCD$ 中，截面 $PQMN$ 是正方形，则在下列命题中，错误的为 ()

A. $AC\perp BD$　　　　　　　　　B. $AC\parallel$ 截面 $PQMN$

C. $AC=BD$　　　　　　　　　D. 异面直线 $PM$ 与 $BD$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 截面 $PQMN$ 是正方形：$PQ\parallel MN$，$PN\parallel QM$。
2. $PQ$ 在面 $ABC$ 内且平行于 $MN$（$M$，$N$ 分别在 $AC$ 相关面上），可推出 $PQ\parallel AC$，从而 $AC\parallel$ 截面 $PQMN$，B 正确。
3. 同理 $PN\parallel BD$，而 $PQ\perp PN$（正方形邻边垂直），故 $AC\perp BD$，A 正确。
4. $PM$ 与 $BD$ 所成角：借助平移可算出为 $45^{\circ }$，D 正确。
5. $AC$ 与 $BD$ 的长度没有必然相等的关系，C 错误。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为截面 $PQMN$ 是正方形，所以 $PQ\parallel MN$，$PN\parallel QM$，且邻边垂直、四边相等。 $P$，$Q$ 在面 $ABC$ 与面 $ADC$ 的边界上，可证 $PQ\parallel AC$，从而 $AC\parallel$ 平面 $PQMN$，B 正确； 同理 $PN\parallel BD$，而 $PQ\perp PN$，故 $AC\perp BD$，A 正确。 设正方形边长为 $a$，利用 $PQ\parallel AC$、$PN\parallel BD$ 及各面上的相似三角形， 可算得异面直线 $PM$ 与 $BD$ 所成的角为 $45^{\circ }$，D 正确。 而 $AC$ 与 $BD$ 的长分别由截面位置决定，两者没有必然相等的数量关系，例如取各棱不全相等的四面体验证即可。 故错误的为 C。选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四面体与截面

核心方法：正方形截面的平行关系逐条兑现

避坑指南：$PQ\parallel MN$ 推出 $PQ\parallel AC$（线面平行的传递），从而 $AC\parallel$ 截面；$PN\parallel BD$ 加上 $PQ\perp PN$ 得 $AC\perp BD$；$AC$ 与 $BD$ 的长度无必然相等关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间命题判断题的标准流程：每条要么给出依据，要么构造反例。

结论推广：截面为平行四边形 $\Rightarrow$ 对边分别平行于两条对角线。

方法推广：“长度相等”这类数量断言最容易出错，优先怀疑并找反例。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-15 填-四面体命题
• 2011-北京卷文-17 解-四面体中点四边形
• 2011-重庆卷文-20 解-四面体体积与二面角