2009-浙江卷文-10 单-含参三角图象

本题导读

考查含参图象。$|a|>1$ 时周期 $\frac{2\pi }{|a|}<2\pi$，D 图振幅大于 $1$ 而周期反而大于 $2\pi$，矛盾，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(文)） 已知 $a$ 是实数，则函数 $f(x)=1+a\sin ax$ 的图象不可能是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 振幅为 $|a|$，周期为 $\frac{2\pi }{|a|}$。
2. 振幅大于 $1\Rightarrow |a|>1\Rightarrow$ 周期小于 $2\pi$。
3. D 图振幅大于 $1$ 而周期大于 $2\pi$，不可能。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=1+a\sin ax$ 的振幅为 $|a|$，周期为 $T=\frac{2\pi }{|a|}$。 若振幅大于 $1$，即 $|a|>1$，则周期 $T=\frac{2\pi }{|a|}<2\pi$。 选项 A、B、C 分别对应 $|a|⩽1$（周期不小于 $2\pi$）或 $|a|=1$、$a=0$ 等相容情形； 而选项 D 中图象的振幅大于 $1$，但周期却大于 $2\pi$，两者矛盾，不可能。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数的图象与性质

核心方法：振幅与周期受同一参数制约

避坑指南：$f(x)=1+a\sin ax$ 的振幅 $|a|$ 与周期 $\frac{2\pi }{|a|}$ 由同一参数控制：振幅大于 $1$ 则周期必小于 $2\pi$，图象自相矛盾即”不可能”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由图象特征反推参数的存在性是图象题的高阶形式。

结论推广：多个图象特征受同一参数约束时，找出相互矛盾的一组即可否定。

方法推广：$a=0$ 退化为常函数、$|a|=1$ 时周期恰为 $2\pi$，都是相容的边界情形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-07 单-三角函数图象性质
• 2011-新课标卷文-11 单-三角函数图象性质
• 2012-浙江卷文-06 单-三角函数图象变换