2009-浙江卷理-22 解-导数

本题导读

本题作为全卷压轴题，第一问考查导数工具下函数不单调的充要条件，可转化为二次方程零点在给定开区间内的分布问题；第二问是一道新颖的导数与映射交汇题，核心在于利用分段函数的单调性，将“解的唯一存在性”转化为两侧分支导函数值域的完全重合。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 已知函数 $f(x)=x^3-(k^2-k+1)x^2+5x-2$, $g(x)=k^2{x}^2+kx+1$, 其中 $k\in \mathbf{R}$.

(1) 设函数 $p(x)=f(x)+g(x)$. 若 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调, 求 $k$ 的取值范围;

(2) 设函数 $q(x)=\{\begin{array}{ll}g(x),& x\ge 0\\ f(x),& x<0\end{array}$．是否存在 $k$，对任意给定的非零实数 $x_1$，存在唯一的非零实数 $x_2$ ($x_2\ne x_1$)，使得 $q^{\prime }(x_2)=q^{\prime }(x_1)$ 成立？若存在，求 $k$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：写出 $p(x)$ 的解析式并求导得到 $p^{\prime }(x)$。由于 $p(x)$ 在 $(0,3)$ 上不单调，等价于导函数 $p^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,3)$ 内有变号零点。利用二次函数开口向上的特征，分“恰有一个零点”与“两个零点都在区间内”两类情况划定参数 $k$ 的边界。

2. 第二问：首先写出分段导函数 $q^{\prime }(x)$ 的表达式。分析可知，当 $k=0$ 时不符题意；当 $k\ne 0$ 时，利用导数分析出 $x>0$ 与 $x<0$ 两个区间内 $q^{\prime }(x)$ 分别严格单调。要使任意非零 $x_1$ 的导数值在另一侧都有且仅有唯一的 $x_2$ 与之对应，其本质要求是 $x>0$ 时的导数值域与 $x<0$ 时的导数值域完全重合，从而建立方程直接解出 $k$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 由题意得 $p(x)=x^3-(1-k)x^2+(5+k)x-1$。 求导得： $p^{\prime }(x)=3x^2-2(1-k)x+(5+k)$。 因为 $p(x)$ 在区间 $(0,3)$ 上不单调，所以 $p^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,3)$ 内有变号零点。 由于 $p^{\prime }(x)$ 的图象是开口向上的抛物线，分情况讨论：

① $p^{\prime }(0)\cdot p^{\prime }(3)<0$ 由于 $p^{\prime }(0)=5+k$， $p^{\prime }(3)=26+7k$， 则 $(5+k)(26+7k)<0⟹-5<k<-\frac{26}{7}$。 注：当 $k=-\frac{26}{7}$ 时， $p^{\prime }(3)=0$，此时另一个根为 $\frac{1}{7}\in (0,3)$，同样满足在 $(0,3)$ 内变号。

② 两个相异零点均在 $(0,3)$ 内，需满足： $\{\begin{array}{l}\Delta =4(1-k{)}^2-12(5+k)>0\\ 0<\frac{1-k}{3}<3\\ p^{\prime }(0)>0\\ p^{\prime }(3)>0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}k>7\text{ 或 }k<-2\\ -8<k<1\\ k>-5\\ k>-\frac{26}{7}\end{array}⟹-\frac{26}{7}<k<-2$

综合上述两种情况，取并集可得 $k$ 的取值范围是 $(-5,-2)$。

(2) 存在满足条件的 $k$，且 $k=5$。理由如下： 对 $q(x)$ 分段求导得： $q^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}2k^{2}x+k,& x>0\\ 3x^2-2(k^2-k+1)x+5,& x<0\end{array}$ 若 $k=0$，当 $x>0$ 时 $q^{\prime }(x)=0$，此时对任意 $x_1>0$，存在无数个 $x_2>0$ 使得 $q^{\prime }(x_2)=q^{\prime }(x_1)=0$，不满足唯一性，故 $k\ne 0$。

当 $k\ne 0$ 时：

• 当 $x>0$ 时，因为 $2k^2>0$，所以 $q^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递增，其值域为 $(k,+\infty )$；
• 当 $x<0$ 时， $q^{\prime }(x)$ 的对称轴为 $x_0=\frac{k^2-k+1}{3}$。因为 $k^2-k+1={\left(k-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$，所以对称轴 $x_0>0$。 由于开口向上且对称轴在正半轴，所以 $q^{\prime }(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上严格单调递减。当 $x\to 0^{-}$ 时 $q^{\prime }(x)\to 5$，当 $x\to -\infty$ 时 $q^{\prime }(x)\to +\infty$，故其在 $(-\infty ,0)$ 上的值域为 $(5,+\infty )$。

由于 $q^{\prime }(x)$ 在 $x>0$ 和 $x<0$ 两个区间内均严格单调，为了让任意给定的非零实数 $x_1$，总能在另一侧找到唯一对应的非零实数 $x_2$ 使得导数值相等，必须且只需这两个分支的值域完全重合。 即： $(k,+\infty )=(5,+\infty )⟹k=5$ 此时，对任意非零实数 $x_1$，其导数值 $y=q^{\prime }(x_1)\in (5,+\infty )$，在另一侧分支上必有且仅有一个对应的 $x_2$ 拥有相同的导数值。 故存在满足条件的 $k$ 值为 5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二次函数根的区间分布控制、分段函数单调性与值域的求解。

2. 核心方法：图解边界法（第一问）、值域边界对齐法（第二问）。

3. 避坑指南：第一问极易漏掉对端点符号为 0 时的临界检验（如 $k=-26/7$），应通过根轴变号规律进行严密合流；第二问深刻理解“存在唯一的 $x_2\ne x_1$”这一映射语言，将其翻译为“正负两开区间上的导数值域必须无缝重合”，可免去繁琐的代数联立大段运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题第二问由高等数学中“双射（Bijection）”与分段映射的覆盖性质改编而来，巧妙利用二次函数在半轴上的单调性与一次函数的单调性进行拼接。

2. 结论推广: 设分段函数在 $x>0$ 严格单调且值域为 $(A,+\infty )$，在 $x<0$ 严格单调且值域为 $(B,+\infty )$，则“对任意非零 $x_1$ 存在唯一非零 $x_2$ 使导数值相等”的充要条件为 $A=B$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较