2009-湖北卷理-14 填-导数

本题导读

本题考查导数的概念与计算、导数的几何意义（特定点的导数值），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知函数 $f(x)=f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)\cos x+\sin x$，则 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 视 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 为一个常数 $A$，对含有未知常数 $A$ 的函数进行求导。
2. 令 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入导函数，建立关于 $A$ 的一元一次方程，解出 $A$。
3. 将 $A$ 代回原函数解析式，计算 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 的值。

点击查看答案

$1$

✍【详细解析】

Abstract

设常数 $A=f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$，则原函数解析式可写为： $f(x)=A\cos x+\sin x$ 对 $x$ 求导得： $f^{\prime }(x)=-A\sin x+\cos x$ 将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入导函数中，得： $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-A\sin \frac{\pi }{4}+\cos \frac{\pi }{4}⟹A=-A\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 移项提公因式得： $A\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹A\cdot \frac{2+\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解得 $A=\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1$。 即 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}-1$。 代回原函数，求 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 的值： $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=A\cos \frac{\pi }{4}+\sin \frac{\pi }{4}=(\sqrt{2}-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sqrt{2}-1+1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=1$ 答案：$1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的基本公式（正余弦求导公式），常数与函数的区分。
2. 核心方法：构造方程法（“求导-代入-解方程”三步法）。
3. 避坑指南：极易把 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)$ 错看成关于 $x$ 的函数去求导。必须牢记 $f^{\prime }(x_0)$ 是一个确定的常数，其导数为 0，但在对整个表达式求导时，它作为 $\cos x$ 的系数保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中对“导数在某点的值”与“导函数”概念区别的辨析习题，属于高考经典的“含导数常数项的函数问题”。
2. 结论推广：若 $f(x)=f^{\prime }(x_0)g(x)+h(x)$，要求 $f^{\prime }(x_0)$，只需对两侧求导得 $f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0)g^{\prime }(x)+h^{\prime }(x)$，再代入 $x_0$ 构筑方程 $f^{\prime }(x_0)=\frac{h^{\prime }(x_0)}{1-g^{\prime }(x_0)}$ 即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较