2009-湖北卷理-15 填-数列

本题导读

本题考查分段递推数列、分类讨论思想，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=m$（$m$ 为正整数），$a_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{2},& \text{当 }{a}_n\text{ 为偶数时}\\ 3a_n+1,& \text{当 }{a}_n\text{ 为奇数时}\end{array}$.若 $a_6=1$，则 $m$ 所有可能的取值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立逆推关系式：已知 $a_{n+1}$，则 $a_n=2a_{n+1}$（若 $a_n$ 为偶数）或 $a_n=\frac{a_{n+1}-1}{3}$（若 $a_n$ 为正奇整数）。
2. 自 $a_6=1$ 开始，逐层向前逆推五步至 $a_1$，并在每一步利用奇偶性约束进行分支筛选。

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4, 5, 32

✍【详细解析】

Abstract

根据递推公式进行逆向分析：

1. 逆推 $a_5$：已知 $a_6=1$。

• 若 $a_5$ 为偶数，$a_5=2\times 1=2$；

• 若 $a_5$ 为奇数，$a_5=\frac{1-1}{3}=0$，0 不是正奇整数，舍去。 故 $a_5=2$。

2. 逆推 $a_4$：已知 $a_5=2$。

• 若 $a_4$ 为偶数，$a_4=2\times 2=4$；

• 若 $a_4$ 为奇数，$a_4=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$，不是整数，舍去。 故 $a_4=4$。

3. 逆推 $a_3$：已知 $a_4=4$。

• 若 $a_3$ 为偶数，$a_3=2\times 4=8$；

• 若 $a_3$ 为奇数，$a_3=\frac{4-1}{3}=1$，1 是正奇整数，符合。 故 $a_3=8$ 或 $a_3=1$。

4. 逆推 $a_2$：

• 当 $a_3=8$ 时：若 $a_2$ 为偶数，$a_2=16$；若 $a_2$ 为奇数，$a_2=\frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}$（舍）。

• 当 $a_3=1$ 时：若 $a_2$ 为偶数，$a_2=2$；若 $a_2$ 为奇数，$a_2=\frac{1-1}{3}=0$（舍）。 故 $a_2=16$ 或 $a_2=2$。

5. 逆推 $a_1$ ($m$)：

• 当 $a_2=16$ 时：若 $a_1$ 为偶数，$a_1=32$；若 $a_1$ 为奇数，$a_1=\frac{16-1}{3}=5$（5 是正奇整数，符合）。
• 当 $a_2=2$ 时：若 $a_1$ 为偶数，$a_1=4$；若 $a_1$ 为奇数，$a_1=\frac{2-1}{3}=\frac{1}{3}$（舍）。 综上所述，$m$ 所有可能的取值为 $4,5,32$。 答案：4, 5, 32

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段递推关系式的双向理解，分类讨论在数列寻根中的应用。
2. 核心方法：逆向树状图分析法。
3. 避坑指南：逆推时极易遗漏“由奇数项变来”的分支，导致漏解（如漏掉 $a_3=1$ 和 $a_1=5$）；同时，在计算 $\frac{a_{n+1}-1}{3}$ 时，必须严格校验计算结果是否确实为正奇整数，例如 0 虽然是整数但不是正数，必须排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于数论中著名的未解之谜——“考拉兹猜想”（Collatz Conjecture），又称 $3x+1$ 猜想或冰雹猜想。该猜想认为对于任意正整数，经此规则变换最终都会陷入 $4\to 2\to 1$ 的死循环。
2. 结论推广：若给定末项 $a_k=1$，求首项 $a_1$ 的取值，本质上就是在考拉兹有向图（Collatz graph）中寻找距离节点 1 步长为 $k-1$ 的所有祖先节点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列