2009-湖南卷理-08 单-导数

本题导读

本题考查新定义函数、导数在单调性与最值中的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年湖南卷(理)） 设函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 内有定义. 对于给定的正数 $K$，定义函数 $f_K(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& f(x)\le K\\ K,& f(x)>K\end{array}$. 取函数 $f(x)=2-x-{\mathrm{e}}^{-x}$. 若对任意的 $x\in (-\infty ,+\infty )$，恒有 $f_K(x)=f(x)$，则 ()

A. $K$ 的最大值为 2　　　　　　　　　　　　　B. $K$ 的最小值为 2

C. $K$ 的最大值为 1　　　　　　　　　　　　　D. $K$ 的最小值为 1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析新定义函数：要使 $f_K(x)=f(x)$ 对全体实数恒成立，由分段函数可知，不能触发 $f_K(x)=K$ 的分支，即必须满足 $f(x)\le K$ 恒成立。
2. 问题转化为：$K\ge f(x{)}_{\max }$。
3. 利用导数求出函数 $f(x)=2-x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 的最大值，从而确定 $K$ 的取值范围及最小值。

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D

✍【详细解析】

Abstract

由题意，对任意的 $x\in \mathbf{R}$ 恒有 $f_K(x)=f(x)$， 由 $f_K(x)$ 的定义可知，必须且只需 $f(x)\le K$ 对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立。 即 $K\ge f(x{)}_{\max }$。

对函数 $f(x)=2-x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 求导： $f^{\prime }(x)=-1-{\mathrm{e}}^{-x}\cdot (-1)=-1+{\mathrm{e}}^{-x}$ 令 $f^{\prime }(x)=0⟹{\mathrm{e}}^{-x}=1⟹x=0$。 分析单调性：

• 当 $x<0$ 时，$-x>0⟹{\mathrm{e}}^{-x}>1⟹f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递增；
• 当 $x>0$ 时，$-x<0⟹{\mathrm{e}}^{-x}<1⟹f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。 所以，函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极大值，也是最大值。 最大值为： $f(0)=2-0-{\mathrm{e}}^0=2-1=1$ 因此，必须满足 $K\ge 1$。 因为 $K$ 能够取到的取值范围是 $[1,+\infty )$，所以 $K$ 的最小值为 1。 答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数恒成立转化，单调性与最值的导数判断。
2. 核心方法：最值转化法（“小于恒成立大于最大值”）。
3. 避坑指南：正确理解分段符号新定义的本质。部分考生容易把 $K\ge f(x{)}_{\max }$ 错看成求极小值或临界方程，求导时注意复合函数 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 求导带来的负号改变。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于工程数学或信号处理中的“限幅器（Clipper）”数学模型，通过引入正数 $K$ 作为斩波上限，考查函数的值域边界。
2. 结论推广：对于任意上限截断函数 $f_K(x)=\min (f(x),K)$，其全域不失真的充要条件就是截断门限 $K$ 不小于原信号函数的全局上确界。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2012-重庆卷文-08 单-导数与函数图象
• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线
• 2013-陕西卷文-23 解-反函数与导数比较