2009-福建卷理-15 填-数列

本题导读

本题考查斐波那契数列的性质、同余与周期性规律，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年福建卷(理)） 五位同学围成一圈依序循环报数，规定： ① 第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报的数都是前两位同学所报的数之和； ② 若报出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次. 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 构建报数序列：由条件①可知该数列为经典的斐波那契数列 $\{F_n\}$。

2. 探寻拍手规律：分析斐波那契数列各项被 3 整除的规律，通过列出前若干项的余数序列寻找其模 3 的周期性，确定哪些项的下标 $n$ 会引发拍手。

3. 定位甲的项次：甲是第 1 个报数且总共 5 人循环，因此甲所报的所有数在数列中的下标 $n$ 满足一阶等差数列特征。

4. 求交集项总数：联立两个下标的同余特征方程，在限定范围 $[1,100]$ 内找出所有满足双重条件的 $n$ 的个数。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

由条件①知，五位同学报出的数构成斐波那契数列 $\{F_n\}$，其中 $F_1=1,F_2=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ ($n\ge 3$)。 根据条件②，只有当 $F_n$ 是 3 的倍数（即 $F_n\equiv 0(\mathrm{mod}3)$）时才会拍手。 我们写出 $\{F_n\}$ 各项模 3 的余数序列： $F_1\equiv 1$, $F_2\equiv 1$, $F_3\equiv 1+1=2$, $F_4\equiv 1+2=3\equiv 0$ （触发拍手）, $F_5\equiv 2+0=2$, $F_6\equiv 0+2=2$, $F_7\equiv 2+2=4\equiv 1$, $F_8\equiv 2+1=3\equiv 0$ （触发拍手）, $F_9\equiv 1+0=1$, $F_{10}\equiv 0+1=1\dots$ 可以发现，余数序列为： $1,1,2,0,2,2,1,0,1,1\dots$，其呈现明显的周期性变化，最小正周期为 8。 在一个周期内，第 4 项和第 8 项余数为 0。也就是说，当且仅当项的下标 $n$ 是 4 的倍数时（即 $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$），该项对应的数才是 3 的倍数。

因为共 5 人围成一圈循环报数且甲第一个报数，所以甲同学所报的数的下标 $n$ 构成以 1 为首项，5 为公差的等差数列，即其下标满足： $n\equiv 1(\mathrm{mod}5)$。 题目要求在报到第 100 个数时（即 $1\le n\le 100$），求甲同学拍手的次数，这等价于寻找在 1 到 100 之间同时满足下列同余方程组的正整数 $n$ 的个数： $\{\begin{array}{l}n\equiv 0(\mathrm{mod}4)\\ n\equiv 1(\mathrm{mod}5)\end{array}$ 由 $n\equiv 0(\mathrm{mod}4)$ 可设 $n=4k$ ($k\in \mathbf{Z}$)。 代入第二个方程得： $4k\equiv 1(\mathrm{mod}5)⟹-k\equiv 1(\mathrm{mod}5)⟹k\equiv 4(\mathrm{mod}5)$。 所以 $k$ 可取 $4,9,14,19,24\dots$ 对应的 $n=4k$ 的取值为： 当 $k=4$ 时， $n=16$； 当 $k=9$ 时， $n=36$； 当 $k=14$ 时， $n=56$； 当 $k=19$ 时， $n=76$； 当 $k=24$ 时， $n=96$。 当 $k\ge 29$ 时， $n\ge 116>100$，超出范围。 因此，在 $1$ 到 $100$ 的范围内，符合双重条件的下标 $n$ 共有 16, 36, 56, 76, 96 这 5 个。 所以甲同学拍手的总次数为 5 次。

填：5

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：斐波那契数列的递推规则，整数模运算的周期性规律，独立同余方程组的重合计数。

2. 核心方法：周期归纳分析法，利用中国剩余定理简化公倍数步长的定位。

3. 避坑指南：切忌尝试算出前 100 个斐波那契数列的具体数值，这在考场上是无法完成的超大计算量；另外要仔细理清“甲第一个报数”所对应的数学语言是 $n=5k+1$ 还是 $n=5k$，防止步长基准错位。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于初等数论中的经典课题——“斐波那契数列的皮萨诺周期（Pisano Period）”。任何整数序列通过递推公式在模 $m$ 下都必然产生纯周期序列，此背景常作为高考创新题用以甄别高逻辑思维的学生。

2. 结论推广：斐波那契数列在模 3 下的 Pisano 周期为 8，且零元素位置分布于 $n=4k$。若循环人数为 $m$，则甲拍手时下标的重合步长为 $\text{lcm}(4,m)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列