2009-陕西卷理-04 单-直线的方程与

本题导读

本题考查直线的方程与倾斜角、圆的标准方程，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年陕西卷(理)） 过原点且倾斜角为 $60^{\circ }$ 的直线被圆 $x^2+y^2-4y=0$ 所截得的弦长为 ()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{6}$　　　　　　　D. $2\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据倾斜角求出直线的斜率，并结合过原点写出直线方程。

2. 将圆的方程化为标准方程，确定圆心坐标和半径 $R$。

3. 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离 $d$，利用垂径定理公式 $L=2\sqrt{R^2-d^2}$ 计算弦长。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

直线的倾斜角为 $60^{\circ }$，斜率 $k=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$，且过原点， 故直线方程为 $y=\sqrt{3}x$，即 $\sqrt{3}x-y=0$。 圆的方程化为标准形式为 $x^2+(y-2{)}^2=4$，则圆心为 $C(0,2)$，半径 $R=2$。 圆心 $C$ 到直线的距离 $d=\frac{|\sqrt{3}\times 0-2|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{2}=1$。 由垂径定理得，截得的弦长为 $2\sqrt{R^2-d^2}=2\sqrt{4-1}=2\sqrt{3}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相交的弦长问题。

2. 核心方法：解决圆的弦长问题，优先选用“几何法”（构建直角三角形利用垂径定理），避免使用联立方程再用韦达定理的“代数法”，以简化运算。

3. 避坑指南：注意倾斜角与斜率的转换，以及点到直线距离公式中分母的计算不要出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教 A 版解析几何初步中关于“直线与圆的位置关系”的典型例题改编，是解析几何小题的必考模型。

2. 结论推广: 对于过原点的直线 $y=(\tan \alpha )x$ 被圆 $x^2+y^2-2Ry=0$ 所截的弦长，亦可通过极坐标方程直接求解更为简便。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-04 填-直线的方向向量与倾斜角
• 2012-浙江卷理-16 填-点到直线的距离
• 2012-浙江卷文-17 填-曲线到直线的距离