2010-上海卷文-03 填-二阶行列式

本题导读

考查行列式与三角。展开得 ${\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 行列式 $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{6}& \sin \frac{\pi }{6}\\ \sin \frac{\pi }{6}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right|$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 对角线法则：${\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{6}$。
2. 二倍角公式化为 $\cos \frac{\pi }{3}$。
3. $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由对角线法则： $\left|\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi }{6}& \sin \frac{\pi }{6}\\ \sin \frac{\pi }{6}& \cos \frac{\pi }{6}\end{array}\right|={\cos }^2\frac{\pi }{6}-{\sin }^2\frac{\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二阶行列式与三角求值

核心方法：对角线法则展开，二倍角公式合并

避坑指南：行列式展开是”主对角线积减负对角线积”，${\cos }^2-{\sin }^2$ 用 $\cos 2\alpha$ 合并；不要按 ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ 错算成 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：行列式是上海卷的特色考点，常与三角、函数最值结合。

结论推广：${\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =\cos 2\alpha$ 是升维合并的首选。

方法推广：特殊角 $\frac{\pi }{6}$ 的三角函数值要熟练。

🔗【关联脉络】

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