2010-上海卷理-11 填-数列

本题导读

本题考查两条直线与坐标轴围成封闭区域的面积表达，并结合极限求值。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 将直线 $l_1:nx+y-n=0$，$l_2:x+ny-n=0(n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2)$，$x$ 轴，$y$ 轴围成的封闭区域的面积记为 $S_n$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求直线截距与交点：

• 直线 $l_1$ 与 $x$ 轴交于 $(1,0)$，与 $y$ 轴交于 $(0,n)$；
• 直线 $l_2$ 与 $x$ 轴交于 $(n,0)$，与 $y$ 轴交于 $(0,1)$；
• 联立 $l_1,l_2$ 解得交点 $P\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$。

2. 计算区域面积 $S_n$： 封闭区域为由 $(0,0),(1,0),P,(0,1)$ 构成的四边形（由对称性可将四边形分为两个三角形）。
3. 求极限：计算 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n$。

✅【答案】

点击查看答案

$1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求直线交点 联立 $l_1$ 和 $l_2$ 的方程： $\{\begin{array}{l}nx+y=n\\ x+ny=n\end{array}$

相减得 $(n-1)x-(n-1)y=0⟹x=y$（因为 $n\ge 2⟹n-1\ne 0$）。 代入得 $(n+1)x=n⟹x=\frac{n}{n+1}$。 交点坐标为 $P\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$。

第二步：计算封闭区域面积 $S_n$ 封闭区域顶点分别为 $O(0,0)$，$A(1,0)$，$P\left(\frac{n}{n+1},\frac{n}{n+1}\right)$，$B(0,1)$。 连接 $OP$，将四边形 $OAPB$ 分割为 $△OAP$ 和 $△OBP$：

• $△OAP$ 的底 $OA=1$，高为 $P$ 点的纵坐标 $y_P=\frac{n}{n+1}$；
• $△OBP$ 的底 $OB=1$，高为 $P$ 点的横坐标 $x_P=\frac{n}{n+1}$。

所以： $S_n=S_{△OAP}+S_{△OBP}=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{n}{n+1}+\frac{1}{2}\times 1\times \frac{n}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

第三步：计算极限 ${\lim }_{n\to \infty }{S}_n={\lim }_{n\to \infty }\frac{n}{n+1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=1$

故答案为：$1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线交点坐标与不规则图形面积拆分、极限计算。
2. 核心方法：对角线拆分为两个三角形求面积 $S=\frac{1}{2}\times 1\times x_P+\frac{1}{2}\times 1\times y_P$。
3. 避坑指南：注意 $l_1,l_2$ 与两坐标轴在第一象限围成的是四边形，切勿误算成以大三角形减小三角形外侧区域。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何图形面积与极限的结合题。
2. 结论推广：当 $n\to \infty$ 时，交点 $P\to (1,1)$，四边形逼近边长为 $1$ 的正方形，面积趋近于 $1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列