2010-四川卷理-01 单-虚数单位 i

本题导读

本题考查虚数单位 $\mathrm{i}$ 的幂次性质及复数代数加法运算。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，计算 $\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3=$()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $-\mathrm{i}$　　　　　　　D. $\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 根据虚数单位的定义与周期性性质，写出 ${\mathrm{i}}^2$ 与 ${\mathrm{i}}^3$ 的代数形式。
2. 代入算式直接求和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由虚数单位 $\mathrm{i}$ 的乘方性质： ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3={\mathrm{i}}^2\cdot \mathrm{i}=-\mathrm{i}$

代入原式计算： $\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2+{\mathrm{i}}^3=\mathrm{i}+(-1)+(-\mathrm{i})=-1$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\mathrm{i}$ 的周期性：${\mathrm{i}}^{4k+1}=\mathrm{i},{\mathrm{i}}^{4k+2}=-1,{\mathrm{i}}^{4k+3}=-\mathrm{i},{\mathrm{i}}^{4k}=1(k\in \mathbb{Z})$。
2. 核心方法：化简各次幂项 $\to$ 合并同类项。
3. 避坑指南：注意负号法则，${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$，切勿混淆为 ${\mathrm{i}}^3=\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础复数运算题。
2. 结论推广：连续四个自然数次幂之和为零，即 ${\mathrm{i}}^n+{\mathrm{i}}^{n+1}+{\mathrm{i}}^{n+2}+{\mathrm{i}}^{n+3}=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 1989-广东理-30 填-虚数单位与立方根
• 1993-新高考文-04 单-虚数单位幂的周期性