2010-四川卷理-14 填-点到直线的距

本题导读

本题考查直线与圆相交弦长的计算，利用圆心到直线的距离与半径构成的直角三角形求解。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(理)） 直线 $x-2y+5=0$ 与圆 $x^2+y^2=8$ 相交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 求圆心与半径：圆心为 $O(0,0)$，半径 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
2. 求圆心到直线的距离 $d$：利用点到直线的距离公式计算 $d$。
3. 计算弦长：利用勾股定理半弦长 $\frac{|AB|}{2}=\sqrt{r^2-d^2}$ 求解 $|AB|$。

✅【答案】

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$2\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆心、半径及圆心到直线的距离 $d$ 圆 $x^2+y^2=8$ 的圆心为 $O(0,0)$，半径为 $r=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$（$r^2=8$）。

圆心 $O(0,0)$ 到直线 $x-2y+5=0$ 的距离为： $d=\frac{|0-2(0)+5|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$

第二步：利用几何法求弦长 $|AB|$ 在由圆心 $O$、弦中点 $M$ 和端点 $A$ 构成的直角三角形中： ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=r^2-d^2$ ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2=8-(\sqrt{5}{)}^2=8-5=3$

所以半弦长为 $\sqrt{3}$，弦长为： $|AB|=2\sqrt{3}$

故答案为：$2\sqrt{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式与圆的弦长几何计算。
2. 核心方法：几何法 $L=2\sqrt{r^2-d^2}$。
3. 避坑指南：切勿联立一元二次方程用韦达定理和弦长公式（步骤繁琐易算错），几何法最简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：直线与圆的位置关系基础弦长计算题。
2. 结论推广：圆 $x^2+y^2=R^2$ 截直线 $Ax+By+C=0$ 得到弦长 $L=2\sqrt{R^2-\frac{C^2}{A^2+B^2}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$2\surd 3$

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷理-16 填-点到直线的距离
• 1952-全国-19 填-原点到直线的距离
• 1985-上海理-03 填-点到直线的距离