2010-广东卷理-12 填-点到直线的距

本题导读

本题考查圆的标准方程的求法，利用圆心到切线的距离等于半径建立方程求解圆心坐标。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 若圆心在 $x$ 轴上、半径为 $\sqrt{2}$ 的圆 $O$ 位于 $y$ 轴左侧，且与直线 $x+y=0$ 相切，则圆 $O$ 的方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设圆心坐标为 $C(a,0)$，由“圆位于 $y$ 轴左侧”确定 $a<0$。
2. 根据直线与圆相切的条件：圆心到直线 $x+y=0$ 的距离 $d=r=\sqrt{2}$，利用点到直线距离公式求出 $a$。
3. 写出圆的标准方程。

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$(x+2{)}^2+y^2=2$

✍【详细解析】

Abstract

因为圆心在 $x$ 轴上，设圆心坐标为 $C(a,0)$。 又因为圆位于 $y$ 轴左侧，所以 $a<0$。

因为圆与直线 $x+y=0$ 相切，且半径 $r=\sqrt{2}$， 所以圆心 $C(a,0)$ 到直线 $x+y=0$ 的距离为： $d=\frac{|a+0|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}⟹|a|=2$

因为 $a<0$，解得 $a=-2$。 所以圆心坐标为 $(-2,0)$，半径 $r=\sqrt{2}$。

故圆 $O$ 的标准方程为 $(x+2{)}^2+y^2=2$。

故答案为 $(x+2{)}^2+y^2=2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的标准方程、点到直线的距离公式、相切条件 $d=r$。
2. 核心方法：待定系数法（设圆心坐标）。
3. 避坑指南：注意“位于 $y$ 轴左侧”代表 $a<0$，若忽略此条件易漏写 $a=2$ 导致多解或错解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自必修二圆的方程与直线和圆位置关系基础练习题。
2. 结论推广: 圆心在 $x$ 轴上的圆 $(x-a{)}^2+y^2=r^2$ 与直线 $Ax+By+C=0$ 相切的充要条件为 $\frac{|Aa+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=r$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$(x+2)2+y2=2$

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷理-16 填-点到直线的距离
• 1952-全国-19 填-原点到直线的距离
• 1985-上海理-03 填-点到直线的距离