2010-新课标卷理-11 单-均值不等式

本题导读

考查分段函数的多重函数值相等问题，需利用数形结合建立自变量之间的代数关系，进而求解乘积范围。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}|\lg x|,& 0<x\le 10\\ -\frac{1}{2}x+6,& x>10\end{array}$，若 $a,b,c$ 互不相等，且 $f(a)=f(b)=f(c)$，则 $abc$ 的取值范围是()

A. $(1,10)$　　　B. $(5,6)$　　　C. $(10,12)$　　　D. $(20,24)$

🔍【思路分析】

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1. 作出分段函数 $f(x)$ 的图像，确定直线 $y=k$ 与图像有三个交点时 $k$ 的范围。
2. 不妨设 $a<b<c$，确定三个根所在的区间：$a\in (0,1)$，$b\in (1,10)$，$c\in (10,12)$。
3. 由 $|\lg a|=|\lg b|⟹-\lg a=\lg b⟹ab=1$。
4. 将 $c$ 的范围结合 $ab=1$ 推出 $abc=c$ 的范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

画出函数 $f(x)$ 的图像：

• 当 $0<x\le 1$ 时，$f(x)=-\lg x$（递减，值域 $[0,+\infty )$）；
• 当 $1<x\le 10$ 时，$f(x)=\lg x$（递增，值域 $(0,1]$）；
• 当 $x>10$ 时，$f(x)=-\frac{1}{2}x+6$（递减，当 $x=10$ 时端点值为 $1$，当 $x=12$ 时值为 $0$）。

要使 $f(a)=f(b)=f(c)$ 且 $a,b,c$ 互不相等，必须有三条交点，此时函数值 $k\in (0,1)$。

不妨设 $0<a<b<c$：

1. 对于 $a$ 和 $b$（在 $0<x\le 10$ 上）： $f(a)=-\lg a,f(b)=\lg b$ 由 $f(a)=f(b)⟹-\lg a=\lg b⟹\lg (ab)=0⟹ab=1$。

2. 对于 $c$（在 $x>10$ 上）： 其函数值为 $f(c)=-\frac{1}{2}c+6$。 因为 $f(c)=k\in (0,1)$，所以： $0<-\frac{1}{2}c+6<1⟹-6<-\frac{1}{2}c<-5⟹10<c<12$

3. 计算 $abc$ 的范围： $abc=(ab)\cdot c=1\cdot c=c$ 因为 $10<c<12$，所以 $abc\in (10,12)$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数函数的对称性 $\lg a+\lg b=0⟹ab=1$ 与分段函数交点求解。
2. 核心方法：数形结合确定交点区间 $\to$ 利用函数性质消元 $\to$ 求解目标变量范围。
3. 避坑指南：注意当 $x>10$ 时 $f(x)$ 值的范围约束在 $(0,1)$，由此才能精准锁定 $c\in (10,12)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查函数图像与方程根的关系，是对数函数性质的典型综合应用。
2. 结论推广：对于包含 $|{\log }_{a}x|$ 的同值多根问题，位于 $1$ 两侧的根必定满足乘积为 $1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2012-上海卷文-20 解-对数不等式与反函数
• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数