2010-新课标卷理-19 解-统计

本题导读

考查用样本估计总体比例、利用列联表进行独立性检验，以及根据检验结果对抽样方法提出优化改进（引出分层抽样）。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 $500$ 位老年人，结果如下：

(1) 估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2) 能否有 $99\%$ 的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3) 根据 (2) 的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿者帮助的老年人的比例？说明理由.

附： $P(K^2\ge k)\begin{array}{ccc}0.050& 0.010& 0.001\\ 3.841& 6.635& 10.828\end{array}$

$K^2=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：用样本中需要帮助的老人频数除以总样本量 $500$，即可得出总体比例的估计值。
2. 第 (2) 问：由列联表计算 $K^2$ 观测值，并与临界值 $6.635$ 进行比较做出推断。
3. 第 (3) 问：由于“需要帮助”与“性别”显著相关，按性别划分层级进行分层抽样比简单随机抽样能大幅降低抽样误差，提高估计精度。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

(1) 估计需要志愿者提供帮助的老年人的比例

样本中需要志愿者帮助的老人总数为： $40+30=70$

样本总人数为 $500$。故该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人比例的估计值为： $p=\frac{70}{500}=0.14(\text{或 }14\%)$

---

(2) 独立性检验

根据列联表数据，可知：

• $a=40,b=30,c=160,d=270$
• $a+b=70,c+d=430$
• $a+c=200,b+d=300,n=500$

代入 $K^2$ 公式计算： $K^2=\frac{500\times (40\times 270-30\times 160{)}^2}{70\times 430\times 200\times 300}$ $K^2=\frac{500\times (10800-4800{)}^2}{1806000000}=\frac{500\times 36000000}{1806000000}=\frac{3000}{301}\approx 9.967$

因为 $K^2\approx 9.967>6.635$， 所以有 $99\%$ 的把握认为该地区老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关。

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(3) 优化调查方法及理由

能提供更好的调查方法。

改进方法：采用分层抽样的方法（按男、女性别比例分层抽样）。

理由：由 (2) 的结论可知，老年人是否需要志愿者帮助与性别密切相关。按性别分层抽样能使样本的性别比例与总体的性别比例保持一致，从而能有效减小抽样误差，提高对总体比例估计的准确度和代表性。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立性检验中 $K^2$ 统计量的公式代入计算，以及分层抽样的适用条件。
2. 核心方法：严格按照 $2\times 2$ 列联表结构计算代数式；对与类别变量相关的总体采用分层抽样。
3. 避坑指南：第 (3) 问不仅要说出“分层抽样”，还必须准确回答“按性别分层”并说明能降低抽样误差的逻辑原理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查概率统计应用题中的社会调查模型，注重统计逻辑与实际决策的结合。
2. 结论推广：若分类变量 $A$ 与被调查属性 $B$ 存在显著相关性，则在调查 $B$ 的比例时，依据 $A$ 进行分层抽样的效果严格优于简单随机抽样。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• （待补）

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷理-07 单-统计综合
• 2011-湖南卷理-18 解-统计推断
• 2011-辽宁卷文-19 解-古典概型与统计决策