2010-江西卷理-20 解-面面垂直

本题导读

本题考查利用空间向量解决立体几何问题。主要考查线面垂直与面面垂直性质的应用、点到平面距离的计算以及二面角的正弦值求法。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 如图，$\Delta BCD$ 与 $\Delta MCD$ 都是边长为 2 的正三角形，平面 $MCD\perp$ 平面 $BCD$，$AB\perp$ 平面 $BCD$，$AB=2\sqrt{3}$.

(1)求点 $A$ 到平面 $MBC$ 的距离；

(2)求平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角的正弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $CD$ 中点 $O$，由等边三角形性质得 $BO\perp CD$，$MO\perp CD$。再结合面面垂直得 $MO\perp$ 平面 $BCD$。以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。
2. 第（1）问：求出平面 $MBC$ 的法向量，利用点到平面的距离公式 $d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ 计算。
3. 第（2）问：分别求出平面 $ACM$ 和平面 $BCD$ 的法向量，计算法向量夹角余弦值，进而得出二面角的正弦值。

✅【答案】

点击查看答案

（1）点𝐴到平面𝑀𝐵𝐶的距离为2√155.（2）所求二面角的正弦值为2√5

✍【详细解析】

Abstract

解： 取 $CD$ 中点 $O$，连接 $BO,MO$。 因为 $\Delta BCD$ 与 $\Delta MCD$ 均是边长为 2 的正三角形， 所以 $BO\perp CD$，$MO\perp CD$，且 $BO=MO=\sqrt{3}$。

又平面 $MCD\perp$ 平面 $BCD$，且平面 $MCD\cap$ 平面 $BCD=CD$，$MO\subset$ 平面 $MCD$， 所以 $MO\perp$ 平面 $BCD$。

以 $O$ 为原点，$OC$ 所在直线为 $x$ 轴，$OB$ 所在直线为 $y$ 轴，$OM$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $O-xyz$。

由题意得各点坐标为： $O(0,0,0)$，$C(1,0,0)$，$D(-1,0,0)$，$B(0,\sqrt{3},0)$，$M(0,0,\sqrt{3})$。 因为 $AB\perp$ 平面 $BCD$，且 $AB=2\sqrt{3}$，所以 $A(0,\sqrt{3},2\sqrt{3})$。

---

（1）求点 $A$ 到平面 $MBC$ 的距离： 由坐标可得： $\overrightarrow{BC}=(1,-\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{BM}=(0,-\sqrt{3},\sqrt{3})$，$\overrightarrow{BA}=(0,0,2\sqrt{3})$。

设平面 $MBC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{BC}=x_1-\sqrt{3}{y}_1=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{BM}=-\sqrt{3}{y}_1+\sqrt{3}{z}_1=0\end{array}$ 取 $y_1=1$，解得 $x_1=\sqrt{3}$，$z_1=1$，故 ${\vec{n}}_1=(\sqrt{3},1,1)$。

则点 $A$ 到平面 $MBC$ 的距离为： $d=\frac{|\overrightarrow{BA}\cdot {\vec{n}}_1|}{|{\vec{n}}_1|}=\frac{|0+0+2\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+1^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$

---

（2）求平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角的正弦值： 由坐标可得 $\overrightarrow{CM}=(-1,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{CA}=(-1,\sqrt{3},2\sqrt{3})$。

设平面 $ACM$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$，则： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CM}=-x_2+\sqrt{3}{z}_2=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{CA}=-x_2+\sqrt{3}{y}_2+2\sqrt{3}{z}_2=0\end{array}$ 取 $z_2=1$，解得 $x_2=\sqrt{3}$，$y_2=-1$，故 ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3},-1,1)$。

平面 $BCD$ 的一个法向量为 ${\vec{n}}_0=(0,0,1)$。

设平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_2\cdot {\vec{n}}_0|}{|{\vec{n}}_2||{\vec{n}}_0|}=\frac{|1|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2+1^2}\cdot 1}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

所以： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{5}}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

故平面 $ACM$ 与平面 $BCD$ 所成二面角的正弦值为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的性质定理、建立空间直角坐标系、向量法求点到平面距离、向量法求二面角。
2. 核心方法：利用面面垂直的性质寻找或关联垂直关系，从而构建三维直角坐标系。
3. 避坑指南：计算二面角时注意题目要求的是余弦值还是正弦值，向量法直接求得的是余弦值的绝对值，需用 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高考立体几何解答题标准模式，将两个公共底边的正三角形折叠/垂直拼接，考查建系及向量运算能力。
2. 结论推广：对两个在公共边垂直的同底多边形，沿交线中点及高线建立直角坐标系是最直接且通用的代数求解路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直
• 2011-江苏卷-22 解-空间向量与二面角
• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角