2010-福建卷理-04 单-对数

本题导读

本题考查分段函数零点的求法，需分别在各自定义域内求解方程并验证取值范围。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2x-3,& x\le 0\\ -2+\ln x,& x>0\end{array}$ 的零点个数为()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 当 $x\le 0$ 时，解二次方程 $x^2+2x-3=0$，检验解是否属于该区间。
2. 当 $x>0$ 时，解对数方程 $-2+\ln x=0$，检验解是否属于该区间。
3. 统计各段合法的零点总数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

① 当 $x\le 0$ 时，令 $x^2+2x-3=0⟹(x+3)(x-1)=0$。 解得 $x=-3$ 或 $x=1$。 因为 $x\le 0$，所以 $x=1$ 舍去，得到 1 个零点 $x=-3$。

② 当 $x>0$ 时，令 $-2+\ln x=0⟹\ln x=2⟹x=e^2$。 因为 $e^2>0$，符合条件，得到 1 个零点 $x=e^2$。

综合①②，函数 $f(x)$ 共有 2 个零点。

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数的零点个数。
2. 核心方法：分类讨论法求分段函数方程解。
3. 避坑指南：解出方程的根后必须回代检查是否满足该段定义域条件（如 $x=1$ 需舍去）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 来源于函数零点与方程解的关系基础题。
2. 结论推广: 分段函数 $f(x)$ 的零点总数等于各段定义域内 $f_i(x)=0$ 根的个数之和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-01 填-对数反函数
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式
• 2011-江苏卷-02 填-对数型复合函数单调区间