2010-辽宁卷理-04 单-程序框图

本题导读

本题考查包含循环结构的程序框图读图能力，核心是通过跟踪变量 $k$ 和 $p$ 在循环过程中的累乘变化，建立输出值与组合计数公式（排列数）的对应关系。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理4）如果执行如图所示的程序框图，输入正整数 $n,m$，满足 $n\ge m$，那么输出的 $p$ 等于()

A. ${\mathrm{C}}_n^{m-1}$　　　　　B. ${\mathrm{A}}_n^{m-1}$　　　　　C. ${\mathrm{C}}_n^m$　　　　　D. ${\mathrm{A}}_n^m$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：$k=1,p=1$。
2. 第一次执行循环体：$p=1\times (n-m+1)=n-m+1$。
3. 判断 $k<m$：若成立，则 $k$ 自增 $1$（即 $k=2$），继续乘 $(n-m+2)$，直到 $k=m$ 时终止循环。
4. 观察累乘项：从 $(n-m+1)$ 连续相乘至 $n$，共 $m$ 项相乘，对应排列数 ${\mathrm{A}}_n^m$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解： 按照程序框图逐步运行：

• 初始状态：$k=1,p=1$；
• 第 1 次循环：$p=1\times (n-m+1)=n-m+1$； 判断：$k<m$。若 $k<m$，进入下一次循环，$k$ 变为 $2$；
• 第 2 次循环：$p=(n-m+1)(n-m+2)$； 判断：$k<m$。若成立，$k$ 变为 $3$；
• ……
• 第 $m$ 次循环：$p=(n-m+1)(n-m+2)\cdots (n-m+m)=(n-m+1)(n-m+2)\cdots n$； 判断：此时 $k=m$，条件 $k<m$ 为“否”，退出循环，输出 $p$。

输出的 $p$ 值为从 $n$ 开始递减 $1$ 的连续 $m$ 个正整数之积： $p=n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)={\mathrm{A}}_n^m$

故选 D>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构框图的执行逻辑、排列数公式 ${\mathrm{A}}_n^m=n(n-1)\cdots (n-m+1)$。
2. 核心方法：

• 追踪法：依次写出前几次循环的表达形式归纳规律；
• 特例法：取 $n=3,m=2$，运行得到 $p=(3-2+1)(3-2+2)=2\times 3=6$，而 ${\mathrm{A}}_3^2=6$，直接验证对应选项。

3. 避坑指南：注意循环终止条件的判断节点在 $p$ 计算之后还是之前，避免将乘项个数误算为 $m-1$ 项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题将算法框图与排列组合的基本公式相结合，考查程序逻辑与代数公式的转化关系。
2. 结论推广：若框图中的乘项改为带除以 $k$ 的形式（如 $p=p\times \frac{n-m+k}{k}$），则输出的 $p$ 值将对应组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-06 单-程序框图累加
• 2011-北京卷理-04 单-程序框图
• 2011-四川卷理-08 单-排列组合