2010-陕西卷文-19 解-分层抽样与概率

本题导读

考查分层抽样、频率估计与古典概型。男生 $40÷10\%=400$ 人；身高 $170\sim 185$ cm 的概率估计值 $\frac{52}{70}=\frac{26}{35}$；第（3）问用对立事件得 $1-\frac{{\mathrm{C}}_7^2}{{\mathrm{C}}_{25}^2}=\frac{93}{100}$。

📌【题干】

Question

（2010年陕西卷(文)） 为了解学生身高情况，某校以 $10\%$ 的比例对全校 $700$ 名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图数据如下：

身高（cm）	160～165	165～170	170～175	175～180	180～185	185～190
男生频数	2	5	14	13	4	2
女生频数	1	7	12	6	3	1

(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在 $170\sim 185$ cm 之间的概率；

(3)从样本中身高在 $165\sim 180$ cm 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在 $170\sim 180$ cm 之间的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先由各组频数求出样本中男生、女生人数，再用抽样比 $10\%$ 还原总体。
2. （2）把三个身高组的男、女频数求和，除以样本容量 $70$。
3. （3）从 $25$ 名女生中任选 2 人，“至少 1 人在 $170\sim 180$” 的对立事件是”2 人都在 $165\sim 170$“，用间接法计数。

✅【答案】

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(1) 约 $400$ 人

(2) $\frac{26}{35}$

(3) $\frac{93}{100}$

✍【详细解析】

Abstract

由统计表可知，男生各组频数依次为 $2,5,14,13,4,2$，女生各组频数依次为 $1,7,12,6,3,1$，故样本中男生 $40$ 人、女生 $30$ 人，样本容量 $70$. （1）分层抽样比例为 $10\%$，全校男生人数的估计值为 $40÷10\%=400(\text{人}).$（2）样本中身高在 $170\sim 185$ cm 之间的男生有 $14+13+4=31$ 人，女生有 $12+6+3=21$ 人，共 $52$ 人. 故该校学生身高在该范围内的概率估计值为 $\frac{52}{70}=\frac{26}{35}.$（3）样本中身高在 $165\sim 180$ cm 之间的女生共 $7+12+6=25$ 人，其中身高在 $170\sim 180$ cm 之间的有 $12+6=18$ 人. 从 $25$ 人中任选 2 人，“至少有 1 人身高在 $170\sim 180$ cm 之间”的对立事件是”2 人身高都在 $165\sim 170$ cm 之间”，故所求概率为 $1-\frac{{\mathrm{C}}_7^2}{{\mathrm{C}}_{25}^2}=1-\frac{21}{300}=\frac{93}{100}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样、频率估计与古典概型

核心方法：男生 $400$ 人；$P=\frac{52}{70}=\frac{26}{35}$；$1-\frac{{\mathrm{C}}_7^2}{{\mathrm{C}}_{25}^2}=\frac{93}{100}$

避坑指南：分层抽样还原总体用”样本数 $÷$ 抽样比”；概率估计值就是样本频率；“至少”型概率优先算对立事件；${\mathrm{C}}_7^2=21$、${\mathrm{C}}_{25}^2=300$ 要算准，组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 的下标是总数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计图表+概率综合是新课标卷解答题的稳定题型，2009 新课标Ⅰ文第 19 题、山东文第 19 题同型。

结论推广：频率 $=$ 频数 $÷$ 样本容量；古典概型 $P=\frac{m}{n}$；间接法 $PA.=1-P(\bar{A})$。

方法推广：三小问层层递进，前两问的结果是后一问的数据来源；“至少”问题先写对立事件再计数，组合数分子分母的$n$、$m$ 各是什么要在草稿上标明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 14.03 频率分布直方图中的数据计算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布
• 2009-山东卷文-19 解-分层抽样与概率
• 2011-湖南卷文-18 解-频率分布与概率
• 2009-浙江卷文-14 填-频率分布直方图