2011-上海卷理-06 填-两角和

本题导读

本题考查正弦定理，以及三角形内角和定理。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 在相距 2 千米的 $A,B$ 两点处测量目标 $C$，若 $\angle CAB=75^{\circ }$，$\angle CBA=60^{\circ }$，则 $A,C$ 两点之间的距离为$\underline{}$千米.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 $△ABC$ 中，已知两角求第三角：$\angle ACB=180^{\circ }-(75^{\circ }+60^{\circ })=45^{\circ }$。
2. 边 $c=AB=2$ 所对角为 $\angle ACB$，边 $b=AC$ 所对角为 $\angle CBA=60^{\circ }$。
3. 应用正弦定理 $\frac{AC}{\sin \angle CBA}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ 解出 $AC$。

✅【答案】

点击查看答案

$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中， $\angle ACB=180^{\circ }-\angle CAB-\angle CBA=180^{\circ }-75^{\circ }-60^{\circ }=45^{\circ }$ 由正弦定理： $\frac{AC}{\sin \angle CBA}=\frac{AB}{\sin \angle ACB}$ 代入已知数据 $AB=2$，$\angle CBA=60^{\circ }$，$\angle ACB=45^{\circ }$： $AC=\frac{AB\cdot \sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$ 故 $A,C$ 两点之间的距离为 $\sqrt{6}$ 千米。 故答案为：$\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$、特殊角的三角函数值。
• 核心方法：已知两角及一边，先通过三角形内角和求出第三角，再套用正弦定理求边长。
• 避坑指南：对角与对边必须严格对应（$AC$ 对应 $\angle B=60^{\circ }$，$AB$ 对应 $\angle C=45^{\circ }$），切勿颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修五第一章《解三角形》中测量两点距离的应用题原型。
• 结论推广：解三角形中“已知两角夹一边（ASA）”或“已知两角及对边（AAS）”均唯一确定三角形，优先选用正弦定理求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2007-北京卷理-11 填-三角形内角定理
• 2007-重庆卷理-05 单-特殊角三角函数值
• 2010-广东卷文-13 填-正弦定理内角和