2011-上海卷理-10 填-二阶行列式

本题导读

本题考查二阶行列式的定义与展开，以及离散集合中的极值计算。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|(a,b,c,d\in \{-1,1,2\})$ 所有可能的值中，最大的是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由二阶行列式展开公式：$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$。
2. 要使差值 $ad-bc$ 达到最大，需使被减数 $ad$ 尽可能大，且减数 $bc$ 尽可能小。
3. 从集合 $\{-1,1,2\}$ 中选数：

• 乘积的最大可能值为 $2\times 2=4$（取 $a=2,d=2$）；
• 乘积的最小可能值为 $2\times (-1)=-2$（取 $b=-1,c=2$ 或反之）；

4. 计算差值最大值 $4-(-2)=6$。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

根据二阶行列式的计算法则： $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$ 其中 $a,b,c,d\in \{-1,1,2\}$。

• 当 $a=2,d=2$ 时，$ad$ 取得最大值： $(ad{)}_{\max }=2\times 2=4$
• 当 $b=-1,c=2$（或 $b=2,c=-1$）时，$bc$ 取得最小值： $(bc{)}_{\min }=(-1)\times 2=-2$ 此时行列式取得最大值： $(ad-bc{)}_{\max }=(ad{)}_{\max }-(bc{)}_{\min }=4-(-2)=6$ 故答案为：6。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二阶行列式主对角线乘积减去副对角线乘积、离散取值的极值组合。
• 核心方法：分离变量求最值，即最大值等于 $(\max )-(\min )$。
• 避坑指南：题目未要求 $a,b,c,d$ 互不相同，因此可以重复选取 $a=d=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：上海教材中矩阵与行列式初步的基础考题。
• 结论推广：对 $a,b,c,d\in [m,M]$，行列式 $ad-bc$ 的最大值恒为 $M^2-\min (m^2,mM)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-04 填-二阶行列式