2011-上海卷理-16 单-函数

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2011年上海卷(理)） 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 $(0,+\infty )$ 上单调递减的函数是 ()

A. $y=\ln \frac{1}{|x|}$　　　　B. $y=x^3$　　　　C. $y=2^{|x|}$　　　　D. $y=\cos x$

🔍【思路分析】

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1. 奇偶性筛选：排除奇函数 $y=x^3$（B 选项）。
2. 单调性筛选：

• 对 A：$y=\ln |x{|}^{-1}=-\ln |x|$，当 $x>0$ 时 $y=-\ln x$ 单调递减；
• 对 C：当 $x>0$ 时 $y=2^x$ 单调递增；
• 对 D：$y=\cos x$ 在 $(0,+\infty )$ 上呈周期性振荡，非单调。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

• 对于 A 选项：定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$，关于原点对称。 因为 $f(-x)=\ln \frac{1}{|-x|}=\ln \frac{1}{|x|}=f(x)$，所以为偶函数。 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$y=\ln \frac{1}{x}=-\ln x$，由于 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故 $y=-\ln x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减，符合题意，A 正确；
• 对于 B 选项：$f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$，为奇函数，B 错误；
• 对于 C 选项：为偶函数，但当 $x\in (0,+\infty )$ 时 $y=2^x$ 单调递增，C 错误；
• 对于 D 选项：为偶函数，但在 $(0,+\infty )$ 上包含增区间和减区间（如 $(0,\pi )$ 递减，$(\pi ,2\pi )$ 递增），非单调函数，D 错误。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：偶函数定义 $f(-x)=f(x)$、复合对数函数单调性。
• 核心方法：先用奇偶性快速排除非偶函数，再在 $(0,+\infty )$ 上直接判定单调性。
• 避坑指南：注意三角函数 $\cos x$ 仅在特定区间单调，不能将局部单调误当成在 $(0,+\infty )$ 上单调。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：必修一函数性质（单调性与奇偶性）的基础综合考查。
• 结论推广：若 $f(x)$ 为定义在 ${\mathbf{R}}^{+}$ 上的单调函数，则 $g(x)=f(|x|)$ 必为偶函数，且其在 $(0,+\infty )$ 上的单调性与 $f(x)$ 相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性