2011-北京卷理-13 填-函数性质

本题导读

本题考查分段函数的图像，以及函数与方程的根。

📌【题干】

Question

（2011年北京卷(理)）

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{x},& x⩾2\\ (x-1{)}^3,& x<2\end{array}$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=k$ 有两个不同的实根，则实数 $k$ 的取值范围是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 分段画出 $y=f(x)$ 的函数图像。

2. 考察直线 $y=k$ 与 $y=f(x)$ 图像产生两个交点时 $k$ 的取值区间。

✅【答案】

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$(0,1)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 分析分段函数 $f(x)$ 的图像与值域：

• 当 $x⩾2$ 时，$f(x)=\frac{2}{x}$ 单调递减，值域为 $(0,1]$（端点 $f(2)=1$）；

• 当 $x<2$ 时，$f(x)=(x-1{)}^3$ 单调递增，当 $x\to 2$ 时，$(x-1{)}^3\to 1$。故当 $x<2$ 时，$f(x)$ 值域为 $(-\infty ,1)$。

2. 观察水平直线 $y=k$ 与 $f(x)$ 图像的交点情况：

• 当 $k⩽0$ 时，直线只与 $x<2$ 的分支有 1 个交点；

• 当 $0<k<1$ 时，直线与 $x<2$ 的分支有 1 个交点，与 $x⩾2$ 的分支有 1 个交点，共有 2 个交点；

• 当 $k=1$ 时，$x⩾2$ 处 $f(2)=1$（有 1 个点），而 $x<2$ 处 $f(x)<1$（无交点），共有 1 个交点；

• 当 $k>1$ 时，与 $x<2$ 分支有 1 个交点，与 $x⩾2$ 无交点，共有 1 个交点。

因此，方程 $f(x)=k$ 有两个不同实根时，$k$ 的取值范围为 $(0,1)$。

答案为：$(0,1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：分段函数图像及方程解与图像交点的等价转换。

• 核心方法：数形结合法。

• 避坑指南：注意临界点 $x=2$ 处的虚实与端点值，$f(2)=1$ 使得 $k=1$ 时仅有 1 个根。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自分段函数与直线交点个数问题。

• 结论推广：方程 $f(x)=k$ 的实根个数等价于 $y=f(x)$ 与 $y=k$ 图像的交点个数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2004-上海卷理-20 解-求函数解析式

• 2004-浙江理-13 填-分段函数

• 2005-浙江卷理-03 单-分段函数