2011-四川卷理-04 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及相反向量与相等向量。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 如图，正六边形 $ABCDEF$ 中，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=$ ()

A. $\vec{0}$　　　　　　　B. $\overrightarrow{BE}$　　　　　　　C. $\overrightarrow{AD}$　　　　　　　D. $\overrightarrow{CF}$

🔍【思路分析】

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1. 观察正六边形中心对称性及边与对角线的平行关系：

• $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}$；
• $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}$。

2. 代换原式中的向量，利用三角形加法法则进行首尾相接合并，或利用相反向量抵消。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

在正六边形 $ABCDEF$ 中，对边平行且相等，方向相同： $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}$ 代入原式中，得： $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{CD}$ 根据向量加法的首尾相连法则： $\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$ 又在正六边形中，连接对角线可知 $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{FA}$， 所以： $\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{CF}$ （或者：设正六边形中心为 $O$，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$，直接利用中心对称拆解亦可求得结果为 $\overrightarrow{CF}$）。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相等向量的平移替换、向量加法的首尾相接法则 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。
• 核心方法：利用正六边形对边平行且相等的几何性质进行等价平移。
• 避坑指南：向量具有方向性，正六边形中 $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DE}$ 而非 $\overrightarrow{ED}$，必须严格确保向量方向一致。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版必修四平面向量的几何线性运算例题演变题。
• 结论推广：在正 $2n$ 边形中，隔一项选取的边向量相加，其和向量恒等于某条经过对称中心的对角线向量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理
• 2002-新课标理-10 单-平面向量的线性运算
• 2003-江苏卷-05