2011-四川卷理-07 单-奇函数

本题导读

本题考查奇函数的反函数性质，以及原函数与反函数图象关于直线 y = x 对称。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 已知 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，且当 $x>0$ 时，$f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$，则 $f(x)$ 的反函数的图象大致是 ()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原函数当 $x>0$ 时的值域与极限端点：

• 当 $x>0$ 时，$0<{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1$，所以 $f(x)\in (1,2)$；
• 当 $x\to 0^{+}$ 时，$f(x)\to 2$；当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 1$。

2. 确定反函数在相应区间的定义域与值域：

• 原函数的值域即为反函数的定义域，因此反函数在正半轴的定义域为 $(1,2)$；
• 在图象上表现为反函数的横坐标 $x\in (1,2)$，纵坐标 $y\in (0,+\infty )$；
• 当 $x\to 2^{-}$ 时，对应原函数 $x\to 0^{+}$，故反函数图象趋向点 $(2,0)$；
• 当 $x\to 1^{+}$ 时，反函数值 $y\to +\infty$。

3. 结合对称性排除选项：

• 奇函数的反函数仍为奇函数，其图象关于原点对称；
• 观察选项，只有 A 选项满足第一象限部分定义域为 $(1,2)$、且图象趋于点 $(2,0)$ 和渐近线 $x=1$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

当 $x>0$ 时，原函数为： $f(x)={\left(\frac{1}{2}\right)}^x+1$ 因为底数 $0<\frac{1}{2}<1$，所以 $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ 在 $(0,+\infty )$ 上严格单调递减。

• 当 $x\to 0^{+}$ 时，$f(x)\to {\left(\frac{1}{2}\right)}^0+1=2$；
• 当 $x\to +\infty$ 时，$f(x)\to 0+1=1$。 所以，当 $x>0$ 时，原函数 $f(x)$ 的值域为 $(1,2)$，且严格单调递减。

因为原函数的值域对应反函数的定义域，且反函数的单调性与原函数相同， 所以其反函数在正区间的定义域为 $(1,2)$，且在 $(1,2)$ 上严格单调递减：

• 当自变量 $x\to 2^{-}$ 时，反函数值趋近于 0，即反函数图象经过开端点 $(2,0)$；
• 当自变量 $x\to 1^{+}$ 时，反函数值趋近于 $+\infty$。 据此特征排除 B、C、D 选项（B、C 的定义域延伸至整个 $(0,+\infty )$ 且过 $(0,2)$，D 选项递增且走向相反）。

又因为 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，根据反函数性质，奇函数的反函数在其定义域内也为奇函数，其图象关于坐标原点中心对称。 第三象限图象由第一象限关于原点对称得到，开端点对应 $(-2,0)$，渐近线为 $x=-1$。 综合上述特征，只有 A 选项的图象符合。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：互为反函数的两函数定义域与值域互换、图象关于 $y=x$ 对称、奇函数的反函数仍为奇函数。
• 核心方法：
• 特征点法：原函数图象以 $(0,2)$ 为空心端点（向右下方延伸），则反函数图象必以 $(2,0)$ 为空心端点（向左上方延伸）；
• 渐近线分析法：原函数有水平渐近线 $y=1$，反函数必有垂直渐近线 $x=1$。
• 避坑指南：容易混淆原函数与反函数的坐标轴对应关系，误把原函数定义域当作反函数定义域，从而错选 B 或 C。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版高中数学必修一《函数的反函数与图象变换》经典识图小题。
• 结论推广：若函数 $y=f(x)$ 满足奇偶性或单调性，其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 保持原函数的奇偶性及单调性完全不变；且若原函数存在渐近线 $y=c$，则反函数必存在对偶渐近线 $x=c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-14 填-反函数
• 2008-上海卷文-04 填-反函数求解析式
• 2008-北京卷文-05 单-受限反函数