2011-四川卷理-14 填-椭圆性质

本题导读

本题考查双曲线的第一定义与第二定义，以及双曲线的焦点、准线与离心率。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(理)） 双曲线 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是 4，那么点 $P$ 到左准线的距离是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从标准方程读取几何量：$a^2=64⟹a=8$，$b^2=36$，则 $c^2=a^2+b^2=100⟹c=10$。离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$。
2. 判断点 $P$ 所在的分支：

• 双曲线上任意点到右焦点的最小距离为双曲线右顶点到右焦点的距离 $c-a=10-8=2$；
• 若 $P$ 在左支上，到右焦点的距离满足 $|P{F}_2|⩾a+c=8+10=18$；
• 已知 $|P{F}_2|=4<18$，因此点 $P$ 必位于双曲线的右支上。

3. 利用双曲线第一定义求点 $P$ 到左焦点 $F_1$ 的距离：

• 因为 $P$ 在右支上，所以 $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a=16$，得 $|P{F}_1|=16+4=20$。

4. 利用第二定义（或准线距离公式）：

• 点 $P$ 到左准线的距离记为 $d_1$，由第二定义知 $\frac{|P{F}_1|}{d_1}=e$，故 $d_1=\frac{|P{F}_1|}{e}$。

✅【答案】

点击查看答案

16

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$，得： $a^2=64⟹a=8$ $b^2=36⟹b=6$ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64+36}=10$ 离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}$ 设双曲线的左、右焦点分别为 $F_1(-10,0)$ 和 $F_2(10,0)$。 若点 $P$ 在双曲线的左支上，则点 $P$ 到右焦点 $F_2$ 的距离 $|P{F}_2|⩾c+a=10+8=18$。 而题设已知 $|P{F}_2|=4<18$， 所以点 $P$ 必定位于双曲线的右支上。

根据双曲线的第一定义，点 $P$ 在右支上满足： $|P{F}_1|-|P{F}_2|=2a=16$ 所以点 $P$ 到左焦点 $F_1$ 的距离为： $|P{F}_1|=2a+|P{F}_2|=16+4=20$ 设点 $P$ 到左准线的距离为 $d$，由双曲线的第二定义： $\frac{|P{F}_1|}{d}=e$ 因此： $d=\frac{|P{F}_1|}{e}=\frac{20}{\frac{5}{4}}=20\times \frac{4}{5}=16$ 故点 $P$ 到左准线的距离是 16。 故答案为：16。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线焦点到顶点距离范围、左右支的判定、第一定义与第二定义的综合应用。
• 核心方法：
• 支向锁定：由 $|P{F}_2|=4<a+c=18$ 判定点在右支；
• 第二定义转换法：点到同侧准线距离为 $\frac{\text{对应焦半径}}{e}$，计算直接快捷。
• 避坑指南：容易忽略点 $P$ 的分支位置，若误认为点 $P$ 到左准线与到右准线等同，或直接套用右准线公式 $d_2=\frac{|P{F}_2|}{e}=\frac{16}{5}$ 会导致严重错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：人教版选修2-1第二章圆锥曲线统一定义与双曲线焦半径性质典型小题。
• 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 右支上一点 $P$，若到右焦点距离为 $r_2$，则到左准线的距离恒为 $d_{\text{左}}=\frac{2a+r_2}{e}$；到右准线的距离恒为 $d_{\text{右}}=\frac{r_2}{e}$。两距离之差恒为两准线间距离 $\frac{2a}{e}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率
• 2010-江西卷理-15