2011-大纲卷理-06 单-二面角

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系，以及等体积法求点到面的距离。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 已知直二面角 $\alpha -l-\beta$，点 $A\in \alpha$，$AC\perp l$，$C$ 为垂足，$B\in \beta$，$BD\perp l$，$D$ 为垂足. 若 $AB=2$，$AC=BD=1$，则 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离等于 ()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 利用直二面角性质，可得 $AC\perp \beta$，$BD\perp \alpha$。
2. 在 $\text{Rt}△ACD$ 和 $\text{Rt}△ABD$ 中求解各边长，算出 $△ABC$ 和 $△BCD$ 的面积。
3. 利用等体积法 $V_{D-ABC}=V_{A-BCD}$ 求得点 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \perp \beta$，交线为 $l$，$AC\subset \alpha$，$AC\perp l$， 所以 $AC\perp \beta$。 因为 $BD\subset \beta$，$CD\subset \beta$， 所以 $AC\perp BD$，$AC\perp CD$。 同理，因为 $BD\perp l$，所以 $BD\perp \alpha$。 从而 $BD\perp CD$。 在 $\text{Rt}△ACD$ 和 $\text{Rt}△BCD$ 中，易知空间四边形 $ABCD$ 满足： $A{B}^2=A{C}^2+C{D}^2+B{D}^2$。 已知 $AB=2$，$AC=BD=1$， 代入得 $2^2=1^2+C{D}^2+1^2⟹4=2+C{D}^2⟹CD=\sqrt{2}$。 设 $D$ 到平面 $ABC$ 的距离为 $h$。 四面体 $A-BCD$ 的体积为： $V_{A-BCD}=\frac{1}{3}{S}_{△BCD}\cdot AC=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times BD\times CD\right)\times AC=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{2}\right)\times 1=\frac{\sqrt{2}}{6}$。 在 $\text{Rt}△ACD$ 中，$AD=\sqrt{A{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。 在 $\text{Rt}△BCD$ 中，$BC=\sqrt{B{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{1^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{3}$。 所以 $△ABC$ 满足 $AC=1,BC=\sqrt{3},AB=2$。 发现 $A{C}^2+B{C}^2=1+3=4=A{B}^2$，所以 $△ABC$ 为直角三角形，$\angle C=90^{\circ }$。 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}\times 1\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 又 $V_{D-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times h$。 由 $V_{D-ABC}=V_{A-BCD}$ 得： $\frac{1}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}\times h=\frac{\sqrt{2}}{6}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{\sqrt{2}}{2}⟹h=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：直二面角的性质、空间距离的等体积转化。
• 核心方法：等体积法。
• 避坑指南：计算 $CD$ 长度时，利用空间距离公式，避免错误认为四点共面。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：立体几何中经典的直三面角模型（墙角模型）。
• 结论推广：在类似直三面角的长方体截角四面体中，三条两两垂直的棱长分别为 $a,b,c$，原点到截面距离 $h$ 满足 $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$。此处以此性质验证：原点为 $C$，三棱为 $AC=1,CB=\sqrt{3},CD=\sqrt{2}$ (在点C处不共角)，正确模型应建系于点 $C$ (或垂足投影)。本题中 $AC\perp \beta$，$△BCD$ 中 $CD\perp BD$。可以建立以 $C$ 为原点，$CD$ 为 $x$ 轴，$AC$ 为 $z$ 轴，过 $C$ 在 $\beta$ 内作平行于 $BD$ 的线为 $y$ 轴的空间坐标系求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1977-福建卷-06
• 1990-上海卷-19 单-异面直线的命题判定
• 1999-全国卷理-21 解-正四棱柱的截面与体积