2011-大纲卷理-14 填-二倍角

本题导读

本题考查同角三角函数基本关系，以及二倍角正切公式。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(理)） 已知 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，则 $\tan 2\alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由角 $\alpha$ 的范围及 $\sin \alpha$，利用平方关系求出 $\cos \alpha$。
2. 计算 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$。
3. 应用二倍角公式 $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$ 求值。

✅【答案】

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$-\frac{4}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，所以 $\cos \alpha <0$。 由 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$，得： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{5}{25}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 因此： $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{1}{2}$。 利用二倍角公式： $\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{2\times \left(-\frac{1}{2}\right)}{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\frac{-1}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{4}{3}$。

故答案为：$-\frac{4}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：象限角三角函数值符号判定、同角平方关系及二倍角正切公式。
• 核心方法：求出单角的正切后利用倍角公式展开。
• 避坑指南：根据 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ 正确判断 $\cos \alpha$ 符号为负，切忌漏掉负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：基础三角求值模型。
• 结论推广：若 $\tan \alpha =t$，则 $\tan 2\alpha =\frac{2t}{1-t^2}$，$\cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\sin 2\alpha =\frac{2t}{1+t^2}$（万能公式）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2007-四川卷理-17 解-三角函数给值求角
• 1977-北京理-04